218 复数

因此

$$|z - (2 + j3)| = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$$ 从而在圆上

$$|z - (2 + j3)| = 2$$ 我们有

$$\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 2$$ 这意味着

$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$$ 表明该圆的圆心为 (2, 3)，半径为 2。

这可以写成标准形式

$$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$$

这不是表示圆的唯一方法，如下面两个例子所示。

例 3.27

求在阿甘德图上方程为的曲线的笛卡尔方程

$$\left| \frac{z - j}{z - 1 - j2} \right| = \sqrt{2}$$ 解 将其表示为如下形式 $|z - j| = \sqrt{2}|z - (1 + j2)|$ 我们可以把这个方程解释为“ $z$ 与 $j$ 之间的距离为” $\sqrt{2}$ 倍的距离 $z$ 和 $(1 + j2)$ ’，所以这与例 3.25(d) 不同。

将 $z = x + jy$ 代入方程得

$$|x + j(y - 1)| = \sqrt{2}|(x - 1) + j(y - 2)|$$ 因此

$$\sqrt{[x^2 + (y - 1)^2]} = \sqrt{2}\sqrt{[(x - 1)^2 + (y - 2)^2]}$$ 两边平方后可得

$$x^2 + (y - 1)^2 = 2[(x - 1)^2 + (y - 2)^2]$$ 展开括号并合并同类项，我们得到

$$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 \quad \text{or} \quad (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$$ 由 (1.14) 可知，这就是圆心为 (2, 3)、半径为 2 的圆的方程。

这是如下一般结论的一个特例。若 $z_1$ 和 $z_2$ 是固定的复数，且

$k$ 是一个正实数，则满足 $z$ 的轨迹是一个圆，

称为阿波罗尼奥斯圆，除非 $\left| \frac{z - z_1}{z - z_2} \right| = k$ 。当 $k = 1$ 时，轨迹是一条直线，正如我们在例 3.25(d) 中所见到的。 $k = 1$