例 3.28求阿甘德图（复平面）中满足下列条件的点的轨迹： $z$ 在阿甘德图（复平面）上满足

$$\operatorname{Re}[(z - j)/(z + 1)] = 0$$

解 设 $z = x + jy$ ，如通常那样，我们得到

$$\frac{z - j}{z + 1} = \frac{x + j(y - 1)}{(x + 1) + jy} = \frac{[x + j(y - 1)][(x + 1) - jy]}{(x + 1)^2 + y^2}$$

因此 $\operatorname{Re}[(z - j)/(z + 1)] = 0$ 意味着 $x(x + 1) + y(y - 1) = 0$ 。

整理后，我们得到

$$x^2 + y^2 + x - y = 0$$

以及

$$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$$

因此 $z$ 在阿甘德图（复平面）上的轨迹是一个圆心为 $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 和半径 $\sqrt{2/2}$ .

3.4.3 更一般的轨迹

一般而言，我们采用初等纯几何与对含 $z$ 的表达式进行代数运算相结合的方法，在阿甘德图上求轨迹问题。我们通过例 3.29 来说明这一点。

例 3.29求 $z = x + jy$ 的轨迹的笛卡尔方程，其由 $z$ 给出

$$|z + 1| + |z - 1| = 4$$

解

这里的定义方程可以解释为点 $z$ 到点 1 和 $-1$ 的距离之和为一个常数（ $= 4$ ）。通过初等的考虑（图 3.13），我们可以看出该轨迹经过 $(2, 0)$ , $(0, \sqrt{3})$ , $(-2, 0)$ 和 $(0, -\sqrt{3})$ . 经典几何的结果会将其轨迹识别为一个椭圆，焦点位于 $(1, 0)$ 和 $(-1, 0)$ ，利用“弦性质”（见例 1.40）。然而，使用代数方法，我们将 $z = x + jy$ 代入方程，得到

$$\sqrt{[(x + 1)^2 + y^2]} + \sqrt{[(x - 1)^2 + y^2]} = 4$$

图 3.13
例 3.29 的椭圆。