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将此方程改写为
将此方程改写为 $$\sqrt{[(x + 1)^2 + y^2]} = 4 - \sqrt{[(x - 1)^2 + y^2]}$$ 两边平方得
两边平方得
将此方程改写为 $$\sqrt{[(x + 1)^2 + y^2]} = 4 - \sqrt{[(x - 1)^2 + y^2]}$$ 两边平方得 $(x + 1)^2 + y^2 = 16 - 8\sqrt{[(x - 1)^2 + y^2]} + (x - 1)^2 + y^2$ 化简
化简得
$$4 - x = 2\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$$
再次两边平方得
$$16 - 8x + x^2 = 4[x^2 - 2x + 1 + y^2]$$
化简为
$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$
化为椭圆的标准形式。
3.4.4 习题
-
42 设 $z = 8 + j$ 和 $w = 4 + j4$ 。计算复平面上从 $z$ 到 $w$ 以及从 $z$ 到 $-w$ .
-
(c) $\left| \frac{z-1}{z+1} \right| = 3$ (d) $\arg(z-2) = \pi/4$
的距离。44 圆 $x^2 + y^2 + 4x = 0$ 与直线 $y = 3x + 2$ 被取在复平面上。请用 $z$ 来描述该圆与该直线。
45 识别并画出复平面上由下式给出的轨迹：
-
$$\left(\frac{z+j}{z-j}\right) = 1 \quad (b) \quad \text{Re}\left(\frac{z+j}{z-j}\right)$$
-
$$\left(\frac{z+j}{z-}\right) = 2$$
-
设 $z = 8 + j$ 和 $w = 4 + j4$ . 在阿甘德图上计算从 $z$ 到 $w$ 以及从 $z$ 到 $-w$ 的距离。
描述 $z$ 的轨迹，当
(a) $\text{Re } z = 5$ (b) $|z - 1| = 3$
(c) $\left| \frac{z - 1}{z + 1} \right| = 3$ (d) $\arg(z - 2) = \pi/4$
圆 $x^2 + y^2 + 4x = 0$ 和直线 $y = 3x + 2$ 被取为位于阿甘德图上。用 $z$ 来描述该圆和该直线。
识别并画出复平面上由下式给出的轨迹
(a) $\text{Re}\left(\frac{z + j}{z - j}\right) = 1$ (b) $\text{Re}\left(\frac{z + j}{z - j}\right) = 2$
(c) $\left| \frac{z + j}{z - j} \right| = 3$ (d) $\tan \arg\left(\frac{z + j}{z - j}\right) = \sqrt{3}$
(e) $\text{Im}(z^2) = 2$ (f) $|z + j| + |z - 1| = 2$
(g) $|z + j| - |z - 1| = \frac{1}{2}$ (h) $\arg(z + j2) = \frac{1}{4}\pi$
(i) $\arg(2z - 3) = -\frac{2}{3}\pi$ (j) $|z - j2| = 1$
46 用尽可能简单的方式，用复变量表示以下轨迹：
(a) $y = 3x - 2$ (b) $x^2 + y^2 + 4x = 0$
(c) $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ (d) $x^2 - y^2 = 1$
47 求满足方程的点 $z$ 在阿甘德图（Argand 图）中的轨迹
(a) $|z - 1| = 2$ (b) $|2z - 1| = 3$
(c) $|z - 2 - j3| = 4$ (d) $\arg(z) = 0$
(e) $|z - 4| = 3|z + 1|$ (f) $\arg\left(\frac{z - 1}{z - j}\right) = \frac{1}{2}\pi$
48 求由
$\left| \frac{z + j}{z - 1} \right| = \sqrt{2}$
给出的圆的直角坐标方程，并用 $z$ 给出该圆的另外两种表示形式。
49 已知 $(z - 1)/(z + 1)$ 的辐角为 $\frac{1}{4}\pi$ ，证明 $z$ 在阿甘德图中的轨迹是以 $(0, 1)$ 为圆心、以 $\sqrt{2}$ 。
50 求该点在阿甘德图（复平面）中运动轨迹的笛卡尔方程 $z = x + jy$ 该点满足的条件为 $|(z + 1)/(z - 2)| = 2$ .