3.5 复变函数

前面（见 2.2.1 节）已经描述了函数的基本概念。本质上，它涉及两个集合 $X$ 和 $Y$ 以及一个规则，该规则为集合中的每个元素 $x$ 在集合 $X$ 中恰好指定一个元素 $y$ 在集合 $Y$ 中。在那里，我们讨论的是实函数，因此 $x$ 和 $y$ 都是实数。当自变量是复数 $z = x + jy$ 时，一般来说，函数 $f(z)$ 的 $z$ 将具有复数值。按照惯例 $w = u + jv$ 用于表示复变函数的因变量，因此

$$w = u + jv = f(z)$$ ，其中 $z = x + jy$

例 3.30 将 $u$ 和 $v$ 用 $x$ 和 $y$ 表示，其中 $w = u + jv$ , $z = x + jy$ , $w = f(z)$ 且

(a) $$f(z) = z^2$$      (b) $f(z) = \frac{z - j}{z + 1}$ , $z \neq -1$

解 (a) 当 $w = z^2$ 时，我们有 $u + jv = (x + jy)^2$ 。这可以改写为

$$u + jv = x^2 - y^2 + j2xy$$

因此，比较等式两边的实部和虚部，我们得到

$$u = x^2 - y^2 \quad \text{and} \quad v = 2xy$$

(b) 当 $w = \frac{z - j}{z + 1}$ 时，我们有

$$u + j\nu = \frac{x + j(y - 1)}{(x + 1) + jy} = \frac{[x + j(y - 1)][(x + 1) - jy]}{(x + 1)^2 + y^2}$$

因此，比较实部和虚部，我们得到

$$u = \frac{x(x+1) + y(y-1)}{(x+1)^2 + y^2} \quad \text{and} \quad v = \frac{(x+1)(y-1) - xy}{(x+1)^2 + y^2}$$

这些可以写成

$$u = \frac{x^2 + y^2 + x - y}{x^2 + y^2 + 2x + + 1} \quad \text{and} \quad v = \frac{y - x - 1}{x^2 + y^2 + 2x + 1}.$$

复变量函数的图形表示需要两个平面，一个用于自变量 $z = x + jy$ 另一个用于因变量 $w = u + jv$ . 因此该函数 $w = f(z)$ 可以看作把 $z$ 平面上的点映射到 $w$ 平面上的点。在这种映射下， $A$ 平面上的区域 $z$ 被变换为 $A'$ 平面上的区域 $w$ 。

例 3.31 求 $w$ 平面上介于 $x = 1$ 与之间的带形区域的像 $x = 2$ 在 $z$ 平面在由下式定义的映射下

$$w = \frac{z + 2}{z}$$