解法 解决此问题最简单的方法是先求出 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的表达式。因此求解

$$w = \frac{z + 2}{z} \text{ for } z \text{ we have}$$

$$z = \frac{2}{w - 1}$$

和

$$x + jv = \frac{2}{(u - 1) + jv} = \frac{2[(u - 1) - jv]}{(u - 1)^2 + v^2}$$

然后比较实部可得

$$x = \frac{2(u - 1)}{(u - 1)^2 + v^2}$$

直线 $x = 1$ 映射为

$$1 = \frac{2u - 2}{u^2 - 2u + 1 + v^2}$$

化简后得到 $w$ 平面上的圆

$$(u - 2)^2 + v^2 = 1$$

该直线 $x = 2$ 映射为

$$2 = \frac{2u - 2}{u^2 - 2u + 1 + v^2}$$

化简后得到 $w$ 平面上的圆

$$(u - \frac{3}{2})^2 + v^2 = \frac{1}{4}$$

因此 $x = 1$ 与 $x = 2$ 之间的带状区域映射为 $w$ 平面上这两个圆之间的部分，如图 3.14 所示。点 $z = \frac{3}{2}$ 映射为 $w = \frac{7}{3}$ 这证实了阴影区域是相互对应的。

正如配套教材 Advanced Modern Engineering Mathematics（高等现代工程数学）中将要说明的，这些性质被用于求解二维稳态势问题（例如参见该配套教材中的工程应用 4.7）。

图 3.14
带状区域的变换 $1 < \text{Re } z < 2$ 到 $w$ 平面上。