3.6 工程应用：电网中的交流电

当交流电流 $i = I \sin \omega t$ ( $\omega$ 为常数且 $t$ 为时间）在电路中流动时，相应的电压取决于 $\omega$ 以及电路的电阻、电容和电感。（注意，电流的频率为 $\omega/2\pi$ 。）为简单起见，我们将分别讨论这三个元件，并逐一考虑它们的作用。

对于电阻为 $R$ 的电阻器，相应的电压为 $v = IR \sin \omega t$ 。该电压与电流“同相”。它与 $i$ 在同一时刻为零，并在与 $i$ 相同的时刻达到最大值，如图 3.15 所示。对于电容为 $C$ 的电容器，相应的电压为 $v = (I/\omega C) \sin(\omega t - \frac{1}{2}\pi)$ , 如图 3.16 所示。此处电压‘滞后’电流一个相位 $\frac{1}{2}\pi$ 。对于电感为

的电感器

• 3.5.1 习题 $u$ 51 求 $v$ 和 $x$ ，用 $y$ 和 $w = f(z)$ , $z = x + jy$ , $w = u + jv$ 表示，其中

• 51 和 $u$ 和 $v$ 关于 $x$ 和 $y$ 其中 $w\; =\; f(z)$, $z\; =\; x\; +\; jy$, $w\; =\; u\; +\; jv$ 和 (a) $f(z)\; =\; (1\; -\; j)z$     (b) $f(z)\; =\; (z\; -\; 1)^2$ (c) $f(z)\; =\; z\; +\; \backslash frac\{1\}\{z\}$	55 证明直线 $x\; =\; 1$ 在 $z$ 平面被函数变换为圆 $u^2 + v^2 - u = 0$ 在 $w$ 平面上，该函数为 $w = (z - 1)/(z + 1)$
  52 求复数 $a$ 和 $b$ 的值，使得函数 $w\; =\; az\; +\; b$ 将点 $z\; =\; 1\; +\; j$ 映射为 $w\; =\; j$ 以及点 $z\; =\; -1$ 简明扼要 $w\; =\; 1\; +\; j$.	56 通过写出 $z\; =\; x\; +\; jy$ 和 $w\; =\; u\; +\; jv$，证明 $y\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$ 在 $z$ 平面上的直线被变换为 $v\; =\; u$ 上的直线 $w$ 由函数确定的平面 $w = e^z$
  53 证明直线 $y\; =\; 1$ 在 $z$ 平面上被该函数变换为直线 $u\; =\; 1$ 在 $w$ 平面上由该函数确定 $w\; =\; (z\; +\; j)/(z\; -\; j)$.	求直线 $x\; =\; 0$ 在同一函数下的像。
  54 证明函数 $w\; =\; (jz\; -\; 1)/(z\; -\; 1)$ 将直线 $y\; =\; x$ 在 $z$ 平面上映射为圆 $(u - 1)^2 + (v - 1)^2 = 1$	在 $w$ 平面上。

图 3.15
电阻为
的电阻器 $R$ .

图 3.16
电容为
的电容器 $C$ .