图 3.17
一个电感为 $L$ .

$L$ 的感应器，其对应的电压为 $v = \omega L i \sin(\omega t + \frac{1}{2}\pi)$ ，如图 3.17 所示。这里电压‘超前’电流一个相位 $\frac{1}{2}\pi$ 。

结合这些结果来求 $v$ 在一般网络情形下的值，利用复数的性质很容易做到。记住 $\sin\theta = \text{Im}(e^{j\theta})$ ，我们可以将结果总结为

$$v = \begin{cases} \text{Im}(IRe^{j\omega t}) & \text{for a resistor} \ \text{Im}\left(\frac{I}{\omega C}e^{j(\omega t - \pi/2)}\right) & \text{for a capacitor} \ \text{Im}(\omega L i e^{j(\omega t + \pi/2)}) & \text{for an inductor} \end{cases}$$

现在 $e^{j\pi/2} = \cos\frac{1}{2}\pi + j\sin\frac{1}{2}\pi = j$ 且 $e^{-j\pi/2} = -j$ ，因此我们可以将这些改写为

$$v = \text{Im}(IZe^{j\omega t})$$

其中

$$Z = \begin{cases} R & \text{for a resistor} \ -\frac{j}{\omega C} & \text{for a capacitor} \ j\omega L & \text{for an inductor} \end{cases}$$

图 3.18
线性 LCR 电路。

$Z$ 称为该元件的复阻抗，而 $V = IZ$ 是复电压。

对于图 3.18 所示的一般 LCR 电路，复电压 $V$ 是各元件复电压的代数和；即

$$V = IR + j\omega L i - \frac{jI}{\omega C} = IZ$$

其中

$$Z = R + j\omega L - \frac{j}{\omega C}$$

实际电压

$$v = \text{Im}(Ve^{j\omega t}) = I|Z| \sin(\omega t + \phi)$$

其中

$$|Z| = \left[ R^2 + \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)^2 \right]^{1/2}$$