3.7 复习题（1–34）

尽可能使用 MATLAB 核对你的答案。

8 证明

$$z^4 - 3z^2 + 1 = 0$$

的解由下式给出

$$z = 2 \cos 36^\circ, 2 \cos 72^\circ, 2 \cos 216^\circ, 2 \cos 252^\circ$$

由此证明

• (a) $\cos 36^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{5} + 1)$
• (b) $\cos 72^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{5} - 1)$

9 证明：若 $p(z)$ 是关于 $z$ 的实系数多项式，则 $[p(z)]^* = p(z^*)$ 。由此推论：实系数多项式方程的根以复共轭对的形式出现。

10 证明

• (a) $\sin^4\theta = \frac{1}{8}[\cos 4\theta - 4 \cos 2\theta + 3]$
• (b) $\sin^5\theta = \frac{1}{16} [\sin 5\theta - 5 \sin 3\theta + 10 \sin \theta]$
• (c) $\cos^6\theta = \frac{1}{32} [\cos 6\theta + 6 \cos 4\theta + 15 \cos 2\theta + 10]$
• (d) $\cos^2\theta \sin^3\theta = \frac{1}{16} [2 \sin\theta + \sin 3\theta - \sin 5\theta]$

11 证明以下命题

• (a) $|z + 1| > |z - 1|$ (b) $\text{Re}(z) > 0$ 是等价的。

12 对于某个网络，其阻抗 $Z$ 由下式给出

$$Z = \frac{1 + j\omega}{1 + j\omega - \omega^2}$$

画出 $|Z|$ 和 $\arg Z$ 随频率 $\omega$ 的变化草图。（取 $\omega \geq 0$ 的值。）

特性阻抗 $Z_0$ 和传播常数 $C$ 由下式给出

$$Z_0 = \sqrt{(Z/Y)} \quad \text{and} \quad C = \sqrt{(ZY)}$$ 其中 $Z$ 是串联阻抗，且 $Y$ 线路的导纳，以及 $\text{Re}(Z) > 0$ 和 $$Z_0 = \sqrt{(Z/Y)} \quad \text{and} \quad C = \sqrt{(ZY)}$$

其中 $Z$ 是串联阻抗， $Y$ 线路的导纳，以及 $\text{Re}(Z_0) > 0$ 和 $\text{Re}(C) > 0$ 。求 $Z_0$ 和 $C$ 当 $Z = 0.5 + \text{j}0.3\Omega$ 和 $Y = (1 - \text{j}250) \times 10^{-8}\Omega$ 。

14 输入阻抗 $Z$ 某个特定网络的 与端接阻抗 $z$ 通过如下方程相关联

$$Z = \frac{(1+j)z - 2 + j4}{z + 1 + j}$$

• 设 $z = 4 + j3$ 和 $w = 2 - j$ 。计算
• ² (e) $|z|$ (f) $w/z$
• (g) $z = \frac{1}{w}$ (h) $\arg z$ (i) $z^{\frac{3}{2}}$

2 对于 $x$ 和 $y$ 实数，求解方程

$$\frac{jy}{jx+1} - \frac{3y+j4}{3x+y} = 0$$

3 已知 $z = (2 + j)/(1 - j)$ , 求其实部和虚部 $z + z^{-1}$ 。

4 (a) 在阿甘德图（Argand 图）中求对应于方程的轨迹

$$|z - 1| = 2|z - j|$$

• (b) 若点 $z = x + jy$ 描绘出圆 $|z - 1| = 1$ ，证明 $1/(z - 2)$ 的实部为常数。

5 记 $\ln((x + jy + a)/(x + jy - a)) = u + jv$ ，证明

• (a) $x^2 + y^2 - 2ax \coth u + a^2 = 0$
• (b) $x = a \sinh u/(\cosh u - \cos v)$
• (c) $|x + jy|^2 = a^2(\cosh u + \cos v)/(\cosh u - \cos v)$

6 一个电路由电阻 $R_1$ 和电感 $L$ 并联后与第二个电阻串联组成 $R_2$ . 当频率为 $V$ 的电压 $\omega/2\pi$ 施加于该电路时，复阻抗 $Z$ 由下式给出

$$\frac{1}{Z - R_2} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{j\omega L}$$

证明：若 $R_1$ 从零变化到无穷大，则 $Z$ 在阿甘德图（Argand 图）上的轨迹是圆的一部分，并求出其圆心和半径。

7 (a) 将 $\cos 6\theta$ 表示为关于 $\cos \theta$ .

• 的多项式 (b) 已知 $z = \cos \theta + j \sin \theta$ 通过展开证明 $(z + 1/z)^5(z - 1/z)^5$ 或其他方式，即

$$\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{1}{2^9}(\sin 10\theta - 5 \sin 6\theta + 10 \sin 2\theta)$$