$$l = \cos \alpha = \frac{x}{r}$$

同样地， $\beta$ 和 $\gamma$ 分别是 OP 与 $y$ 和 $z$ 方向所成的角，因此

$$m = \cos \beta = \frac{y}{r}, \quad n = \cos \gamma = \frac{z}{r}$$

三元组 $(l, m, n)$ 被称为直线 OP 的方向余弦。注意

$$l^2 + m^2 + n^2 = \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} + \frac{z^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^2} = 1$$

例 4.1 若 P 的坐标为 (2, -1, 3)，求 OP 的长度及 OP 的方向余弦。

解

例 4.1 若 P 的坐标为 $$(2, -1, 3)$$ ，求 OP 的长度及直接解 $\text{OP}^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9$ , 因此 $\text{OP} = \sqrt{14}$

方向余弦为

$$l = 2\sqrt{\frac{1}{14}}, \quad m = -\sqrt{\frac{1}{14}}, \quad n = 3\sqrt{\frac{1}{14}}$$

例 4.2 一名测量员在水平地面上的 O 点架设经纬仪，观测教堂尖塔的塔顶，如图 4.3 所示。相对于坐标轴 $Oxz$ ，其中 $Oz$ 为竖直方向，测量员测得角 $\angle TOx = 66^\circ$ 和 $\angle TOz = 57^\circ$ 。已知教堂高度为 35 m。求角 $\angle TOy$ ，并计算点 T 相对于给定坐标轴的坐标。

解 方向余弦

$$l = \cos 66^\circ = 0.40674$$ 和 $n = \cos 57^\circ = 0.54464$

已知，因此第三个方向余弦可计算为

$$m^2 = 1 - l^2 - n^2 = 0.53793$$

因此， $m = 0.73344$ 从而 $\angle \text{TOy} = \cos^{-1}(0.73344) = 42.82^\circ$ 。长度 $\text{OT} = r$ 现在可以由已知的高度 35 m 和方向余弦 $n$ 计算得出，即

图 4.2
OP 的方向余弦 $l = \cos \alpha$ ,
$m = \cos \beta$ , $n = \cos \gamma$ .