向量的一些基本性质：

(a) 相等

正如我们之前所考虑的，两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 相等，当且仅当它们具有相同的模、相同的方向和指向。我们按通常方式写作

a = b

我们稍后会看到，在分量形式下，两个向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 相等当且仅当它们的分量相等，即

$$a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad a_3 = b_3$$

(b) 数乘

如果 $\lambda$ 是一个标量，且向量满足关系 $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$ 那么

• 当 $\lambda > 0$ , a 是与 b 方向相同、大小为 $\lambda$ 倍 b 的大小的向量；
• 如果 $\lambda < 0$ ，则 a 是与 b 方向相反、大小为 $|\lambda|$ 倍 b 的大小的向量。

(c) 平行向量

性质 (b) 中的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 根据 $\lambda > 0$ 或 $\lambda < 0$ 分别称为平行或反平行。（注意，我们在 $\lambda$ 和 $\mathbf{b}$ 因为公共符号 $\cdot$ 和 $\times$ 已被保留用于我们稍后将讨论的特殊用途。）

(d) 模

向量的模或长度或大小 $\mathbf{a}$ 写作 $|\mathbf{a}|$ 或 $|\vec{OA}|$ 或 $a$ 如果没有歧义的话。模为 1 的向量称为单位向量，写作 $\hat{a}$ ，带上帽子（ $^\circ$ ) 表示单位向量。显然

$$a = |a|\hat{a} \quad \text{or} \quad \hat{a} = \frac{a}{|a|}$$

零向量或空向量的模为零；它写作 0，在没有歧义时也常直接写作 0，无论它是否为向量。

图 4.5
向量的表示 $a$ 由线段 OA 表示。