图 4.11 结合律的推导。

图 4.12 用于证明分配律的相似三角形。

(b) 结合律

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

从几何上看，可以利用三角形法则和多边形法则推导出该结果，如图 4.11 所示。我们看到括号无关紧要，可以省略。

(d) 减法

我们以显而易见的方式定义减法：

$$a - b = a + (-b)$$

这在图 4.13 中以几何方式说明。对三角形 OAB 应用三角形法则可得

$$\begin{aligned} \overline{BA} &= \overline{BO} + \overline{OA} = \overline{OA} + \overline{BO} \ &= \overline{OA} - \overline{OB} \quad \text{since } \overline{BO} = -\overline{OB} \end{aligned}$$

(c) 分配律

$$\lambda(a + b) = \lambda a + \lambda b$$

该结果由相似三角形得出。在图 4.12 中，边 $O'B'$ 正好是 $\lambda$ 倍 $OB$ 长度相同且方向相同，因此 $\overline{O'B'} = \lambda(\mathbf{a} + \mathbf{b})$ 。因此三角形法则给出了所需的结果，因为 $\overline{O'B'} = \overline{O'A'} + \overline{A'B'} = \lambda\mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$ 。这个结果只是说明我们可以按照通常的代数法则展开括号。