解答 现在如规则 (d) 中那样

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$

因此

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (b + \frac{1}{2}a) - b = \frac{1}{2}a$$

类似地 $\overline{\mathbf{CA}} = \overline{\mathbf{OA}} - \overline{\mathbf{OC}} = \mathbf{a} - (\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{a}) = \frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b}$

例 4.6 一个力 $\mathbf{F}$ 大小为 2 N，另一个力 $\mathbf{F}'$ 大小为 1 N，且与 $60^\circ$ 成夹角 $\mathbf{F}$ ，如图 4.15 所示。求合力的大小 $\mathbf{R}$ 以及它与力 $\mathbf{F}$ .

所成的角。

解答 (i) 现在，由图 4.15 可得 $\mathbf{R} = \mathbf{F} + \mathbf{F}'$ , 因此我们需要求 OC 的长度和角 CON。

图 4.15
例 4.6 的图。

(ii) 我们首先需要用三角学计算 CN 和 AN。注意到 $|\mathbf{F}'| = \text{OB} = \text{AC} = 1$ 可以看到

$$\text{CN} = \text{AC} \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{and} \quad \text{AN} = \text{AC} \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$ (iii) 注意到 $|\mathbf{F}| = \text{OA} = 2$ 则 $\text{ON} = \text{OA} + \text{AN} = \frac{5 $$\text{CN} = \text{AC sin } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 以及 $\text{AN} = \text{AC cos } 60^\circ = \frac{1}{2}$

(iii) 注意到 $|F| = OA = 2$ 则 $ON = OA + AN = \frac{5}{2}$ 。因此利用勾股定理

$$\text{OC}^2 = \text{ON}^2 + \text{CN}^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 7$$

从而合力的模为 $\sqrt{7}$ 。

(iv) 角 CON 由下式确定 $\tan \text{CON} = \frac{\text{CN}}{\text{ON}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$ 得出角 $\text{CON} = 19.1^\circ$ 。

例 4.7 一架飞机在 50 节的强西北风中以 400 节的速度飞行。飞行员希望向正西飞行。飞行员应朝什么方向驾驶飞机才能达到这一目的，其实际对地速度是多少？

解

解 飞机的合成速度是来自西北方向的 50 节速度与沿 $\alpha^\circ$ 偏北方向飞行的 400 节速度的向量和。在适当的单位下，该情形如图 4.16(a) 所示。向量 $\vec{OA}$ 表示风速， $\vec{OB}$ 表示飞机的速度。合成速度为 $\vec{OP}$ ，它被要求指向正西。我们希望确定角 $\alpha$ （给出飞行方向）以及合成速度的大小（给出对地速度）。$