和

$$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BY}$$

加法运算和乘以 2 得到

$$4\overline{\text{XY}} = 2\overline{\text{XA}} + 2\overline{\text{AB}} + 2\overline{\text{BY}} + 2\overline{\text{XC}} + 2\overline{\text{CB}} + 2\overline{\text{BY}}$$

$$= 2\overline{AB} + 2\overline{CB} + 4\overline{BY} \quad (\text{since } \overline{XA} = -\overline{XC})$$

$$= 2\vec{AB} + 2\vec{CB} + \vec{BD} \quad (\text{since } \vec{BD} = 2\vec{BY})$$

$$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD})$$

因此

$$4\vec{XY} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{AD} + \vec{CD}$$

4.2.4 练习题

• 1 给定两个不平行的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，在图上标出向量 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ , $\frac{1}{2}\mathbf{a} + \mathbf{b}$ , $\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{a}$ , $\frac{3}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 。

  2 一架飞机先沿东北偏东方向飞行 100 km，然后沿东南偏东方向飞行 120 km，最后向南再飞行 50 km。画出表示该飞行路径的向量。起点到终点的距离是多少？飞行路径的长度又是多少？

  3 (a) 给定两个不平行的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，在图上证明任何其他向量 $\mathbf{r}$ 可以写成 $\mathbf{r} = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b}$ 其中常数 $\alpha$ 和 $\beta$ .

• (b) 给定三个不共面、不平行的向量 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ ，请在图上说明任意其他向量 $\mathbf{r}$ 可以写成 $\mathbf{r} = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} + \gamma\mathbf{c}$ 其中常数 $\alpha$ , $\beta$ 和 $\gamma$ 。

  4 向量 $\overrightarrow{OP}$ 与正方向成角 $60^\circ$ 与正 $x$ 轴成角，且 $45^\circ$ 与正 $y$ 轴成角。求该向量与 $z$ 轴可能成的角。

  5 已知向量 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ 。求表示点 $\overrightarrow{OC}$ 的向量 $C$ ，该点将 AB 按比例分割 $AC:CB = 1:2$ 。

  6 (a) 对于两个向量 $\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}$ 和 $\mathbf{b} = \overrightarrow{OB}$ 证明 AB 的中点具有向量 $\frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$ .

• 给定两个不平行的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，在图上标出向量 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ , $\frac{1}{2}\mathbf{a} + \mathbf{b}$ , $\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{a}$ , $\frac{3}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 。

  一架飞机先沿东北方向飞行 100 km，然后沿东南偏东方向飞行 120 km，最后向南再飞行 50 km。画出表示该飞行路径的向量。起点到终点的距离是多少？飞行路径的长度又是多少？

  (a) 给定两个不平行的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，在图上证明任何其他向量 $\mathbf{r}$ 都可以写成 $\mathbf{r} = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b}$ 其中常数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

  (b) 给定三个不共面、不平行的向量 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ ，在图上说明任何其他向量 $\mathbf{r}$ 都可以写成 $\mathbf{r} = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} + \gamma\mathbf{c}$ 其中常数为 $\alpha$ , $\beta$ 和 $\gamma$ 。

  向量 $\vec{OP}$ 与…的夹角为 $60^\circ$ 与正 $x$ 轴的夹角为 $45^\circ$ 与正 $y$ 轴的夹角。求该向量与 $z$ 轴可能成的角度。

  已知向量 $\vec{OA} = \mathbf{a}$ 和 $\vec{OB} = \mathbf{b}$ 。求表示 AB 上点 C 的向量 $\vec{OC}$ ，该点按比例 $AC:CB = 1:2$ 分割 AB。

  (a) 对于两个向量 $\mathbf{a} = \vec{OA}$ 和 $\mathbf{b} = \vec{OB}$ 证明 AB 的中点具有向量 $\frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$ 。

  (b) 四边形 ABCD 各边的中点为 PQRS。证明 PQRS 构成一个平行四边形。

  7 正六边形 OACDEB 的相邻两边为 $\vec{OA} = \mathbf{a}$ 和 $\vec{OB} = \mathbf{b}$ 。用 $\vec{OC}$ , $\vec{OD}$ , $\vec{OE}$ 和 $\mathbf{a}$ 表示，求表示其余三个顶点的向量 $\mathbf{b}$ 。

  8 一只鸟以速度 $20\text{ m s}^{-1}$ 向北飞行，但风同时以 $5\text{ m s}^{-1}$ 向东吹送。求鸟的实际速度及其偏离北方的角度。

  9 一名骑行者以每小时 8 千米的速度向东骑行，发现风似乎正从正北方向吹来。当她的速度加倍时，风似乎从东北方向吹来。求风的实际速度。

  10 一个重 100 N 的物体由两根导线悬挂在水平横梁上，如图 4.18 所示。求导线中的张力。

  图 4.18 练习 10 中悬挂的重物

  向量 $\vec{OP}$ 与之成角 $60^\circ$ 以及

图 4.18 练习 10 中的悬挂重物