4.2.5 直角坐标分量与基本性质

我们在前面已经看到，向量可以写成一个由三个数组成的有序集合，即三元组（见 4.2.2 节）。现在我们将探讨这些有序三元组的性质，以及它们与前几节中使用的几何定义之间的关系。

在图 4.19 中，我们用 i、j 和 k 表示三个坐标方向上相互垂直的单位向量。（有时也采用另一种记号 ê1、ê2 和 ê3。）记号 i、j、k 非常标准，以至于表示单位向量的“帽子”符号通常被省略。

图 4.19 向量的分量形式。

对三角形 OXM 应用三角形法则，我们得到

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XM} = xi + yj$$

对三角形 OMP 应用三角形法则，则得到

$$\vec{OP} = \vec{OM} + \vec{MP} = xi + yj + zk \quad (4.1)$$

该分析适用于任意一点，因此我们可以将任意向量 r 用其相对于单位向量 i、j、k 的分量 x、y、z 表示为

$$r = xi + yj + zk$$

事实上，向量记法 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ 应被解释为 (4.1) 中给出的向量。在某些情况下，对坐标使用下标记法更为方便，而

$$(x_1, x_2, x_3) = x_1\hat{e}_1 + x_2\hat{e}_2 + x_3\hat{e}_3$$

的解释方式完全相同。我们假定这三个基本单位向量是已知的，所有以坐标形式表示的向量都是相对于它们而言的。

向量的模就是线段 OP 的长度，因此由图 4.19 并利用勾股定理，我们得到

$$|\mathbf{r}| = (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}$$