(a) 相等

两个向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 当且仅当三个分量都相等时才是相等的，即

$$a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad a_3 = b_3$$

(b) 零向量

零向量的分量全为零，所以

0 = (0, 0, 0)

(c) 加法

用向量分量表示加法规则非常简单：

$$a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$$

这一定义与使用平行四边形法则进行加法的几何定义的等价性可以从图 4.20 推出。我们知道 $\overline{OB} = \overline{AC}$ ，因为它们是等价的位移，因此它们的 $x$ 分量相同，所以我们有 $OL = MN$ 。因此，如果我们取 $x$ 分量，则 $a + b$

$$(\mathbf{a} + \mathbf{b})_1 = \text{ON} = \text{OM} + \text{MN} = \text{OM} + \text{OL} = a_1 + b_1$$

的 $y$ 和 $z$ 分量可以用类似的方式考虑，得到 $(\mathbf{a} + \mathbf{b})_2 = a_2 + b_2$ 和 $(\mathbf{a} + \mathbf{b})_3 = a_3 + b_3$ .

图 4.20
平行四边形法则， $x$
分量。

(d) 与标量相乘

如果 $\lambda$ 是一个标量，且这些向量满足关系 $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$ 那么各分量满足

$$a_1 = \lambda b_1, \quad a_2 = \lambda b_2, \quad a_3 = \lambda b_3$$

这可由图 4.12 中的相似三角形得出。

(e) 分配律

分量形式的分配律只是数的加法分配律的简单重述：