$$\begin{aligned}\lambda(\mathbf{a} + \mathbf{b}) &= \lambda(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \ &= (\lambda(a_1 + b_1), \lambda(a_2 + b_2), \lambda(a_3 + b_3)) \ &= (\lambda a_1 + \lambda b_1, \lambda a_2 + \lambda b_2, \lambda a_3 + \lambda b_3) \ &= (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3) + (\lambda b_1, \lambda b_2, \lambda b_3) \ &= \lambda \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\end{aligned}$$

(f) 减法

减法同样很简单，只需将各分量彼此相减即可：

$$a - b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$$

向量的分量形式使问题可以用代数方法求解，其结果既可以按代数思想解释，也可以按几何方式解释。这两种解释在向量在工程中的应用中都非常有用。

在 MATLAB 中，向量以方括号内的数组形式输入，例如，向量 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ 输入为 $\mathbf{a} = [1\ 2\ 3]$ 或 $\mathbf{a} = [1, 2, 3]$ ，其中后者用逗号代替了空格。加法、减法和标量乘法运算分别用 $+$ , $-$ 和 $*$ 表示，但要数值计算这些运算需要使用指令 evalm。向量的模或长度 $\mathbf{a}$ 在 MATLAB 中表示为 norm( $\mathbf{a}$ )。

例 4.9 判断常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 可以找到满足向量方程

(a) $$(2, 1, 0) = \alpha(-2, 0, 2) + \beta(1, 1, 1)$$

(b) $$(-3, 1, 2) = \alpha(-2, 0, 2) + \beta(1, 1, 1)$$

并解释结果。

解答 (a) 要使两个向量相同，每个分量都必须相等，因此

$$2 = -2\alpha + \beta$$

$$1 = \beta$$

$$0 = 2\alpha + \beta$$

于是第二个方程给出 $\beta = 1$ 而另外两个方程都给出相同的 $\alpha$ 值，即 $\alpha = -\frac{1}{2}$ ，所以方程组可以满足。

(b) 类似的论证给出

$$-3 = -2\alpha + \beta$$

$$1 = \beta$$

$$2 = 2\alpha + \beta$$