同样，第二个方程给出 $\beta = 1$ 但第一个方程导出 $\alpha = 2$ 而第三个导出 $\alpha = \frac{1}{2}$ 。此时各方程不再相容，无法找到合适的 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

在情形 中，三个向量位于同一平面内，平面内的任何向量（包括给定的那个）都可以写成两个向量 $(-2, 0, 2)$ 和 $(1, 1, 1)$ 的向量和，并带有适当的乘数。而在情形 中，向量 $(-3, 1, 2)$ 并不位于两个向量 $(-2, 0, 2)$ 和 $(1, 1, 1)$ 因此永远不能写成这两个向量的向量和 $(-2, 0, 2)$ 和 $(1, 1, 1)$ 以及适当的乘数。

例 4.10 给定向量 $\mathbf{a} = (1, 1, 1)$ , $\mathbf{b} = (-1, 2, 3)$ 和 $\mathbf{c} = (0, 3, 4)$ ，求

• (a) $a + b$      (b) $2a - b$      (c) $a + b - c$

• (d) 沿该方向的单位向量 $\mathbf{c}$

• 解 (a) $a + b = (1 - 1, 1 + 2, 1 + 3) = (0, 3, 4)$

$$\hat{\mathbf{c}} = \frac{\mathbf{c}}{5} = (0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$$

例 4.11 给定 $a = (2, -3, 1) = 2i - 3j + k$ , $b = (1, 5, -2) = i + 5j - 2k$ 和 $c = (3, -4, 3) = 3i - 4j + 3k$

• (a) a) 求向量 $d = a - 2b + 3c$ ;

• (b) 求 …… 的模 $\mathbf{d}$ 并写出一个沿 …… 方向的单位向量 $\mathbf{d}$ ;

• (c) …… 的方向余弦是什么 $d$ ?

• 解 (a) $d = a - 2b + 3c$
  $= (2i - 3j + k) - 2(i + 5j - 2k) + 3(3i - 4j + 3k)$
  $= (2i - 3j + k) - (2i + 10j - 4k) + (9i - 12j + 9k)$
  $= (2 - 2 + 9)i + (-3 - 10 - 12)j + (1 + 4 + 9)k$
  即 $d = 9i - 25j + 14k$ 。

(b) …… 的模为 $\mathbf{d}$ 是 $d = \sqrt{[9^2 + (-25)^2 + 14^2]} = \sqrt{902}$
沿 …… 方向的单位向量为 $\mathbf{d}$ 是 $\hat{\mathbf{d}}$ 其中

$$\hat{d} = \frac{d}{d} = \frac{9}{\sqrt{902}} j - \frac{25}{\sqrt{902}} j + \frac{14}{\sqrt{902}} k$$