（c）的方向余弦为 $\mathbf{d}$ 是 $9/\sqrt{902}$ , $-25/\sqrt{902}$ 和 $14/\sqrt{902}$ .

在 MATLAB 中验证命令

a = [2 -3 1]; b = [1 5 -2]; c = [3 -4 3];
d = a - 2*b + 3*c

返回（a）中给出的答案，并且进一步的命令

norm(d)

给出 $\mathbf{d}$ 的大小为 30.0333。这里 MATLAB 给出的是数值答案；若要获得精确形式的答案，则必须在 MATLAB 中使用符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）进行符号计算。为此，向量 $\mathbf{d}$ 必须首先使用 sym 命令表示为符号形式。

例 4.12

一个分子 $XY_3$ 具有四面体结构；X 原子的位置向量为 $(2\sqrt{3} + \sqrt{2}, 0, -2 + \sqrt{6})$ 以及三个 Y 原子的坐标为

$$\vec{OY} = (\sqrt{3}, -2, -1), \quad \vec{OY'} = (\sqrt{3}, 2, -1), \quad \vec{OY''} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{6})$$

(a) 证明所有键长都相等。

(b) 证明 $\vec{XY} + \vec{YY'} + \vec{Y''Y''} + \vec{Y'''Y} = \mathbf{0}$

解

(a) $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX} = (-\sqrt{3} - \sqrt{2}, -2, 1 - \sqrt{6})$ 且键长为

$$|\vec{XY}| = [(-\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 + (-2)^2 + (1 - \sqrt{6})^2]^{1/2} = 4$$

$\vec{YY'} = \vec{OY'} - \vec{OY} = (0, 4, 0)$ 显然键长同样为 4。

另外四个键 $\vec{XY'}$ , $\vec{XY''}$ , $\vec{Y'Y''}$ , $\vec{Y''X}$ 的处理方式完全相同，每个键长都为 4。

(b) 现在 $\vec{Y'Y''} = \vec{OY''} - \vec{OY'} = (\sqrt{2} - \sqrt{3}, -2, \sqrt{6} + 1)$ 和 $\vec{Y''X} = \vec{OX} - \vec{OY''} = (2\sqrt{3}, 0, -2)$ ，因此将这四个向量相加得到

$$\begin{aligned} \vec{XY} + \vec{YY'} + \vec{Y'Y''} + \vec{Y''X} \ &= (-\sqrt{3} - \sqrt{2}, -2, 1 - \sqrt{6}) + (0, 4, 0) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}, -2, \sqrt{6} + 1) + (2\sqrt{3}, 0, -2) \ &= \mathbf{0} \end{aligned}$$

这只是对多边形法则的验证。

例 4.13

三个力，单位为牛顿，

$$\mathbf{F}_1 = (1, 1, 1)$$