例 4.15 在第一和第二象限内以 OP 为正方形的一条边构成一个正方形，且 $\overline{OP} = (1, 2)$ 。求该正方形另外两个顶点的坐标。

解 情形如图 4.24 所示。利用复数形式，边 OQ 可通过将 OP 旋转 $\vec{OP} = 1 + 2j$ 弧度得到；于是 $\pi/2$ 第四个点 R 可通过观察到 OR 是 OP 与 OQ 的向量和而求得，因此

$$\overline{\mathbf{Q}} = \mathbf{j}(1 + 2\mathbf{j}) = -2 + \mathbf{j}$$

所以四个坐标为

(0, 0), (1, 2), (-2, 1) 和 (-1, 3)

例 4.16 M 是一个正方形的中心，其顶点 A、B、C 和 D 按逆时针方向依次排列。如果在阿甘德图中，M 和 A 分别用复数

$$\overline{OR} = \overline{OP} + \overline{OQ} = -1 + j3$$

和 $-2 + j$ 表示，求顶点 B、C 和 D 所表示的复数。

解 对图 4.25 应用向量加法的三角形法则，得 $1 + j5$ 由于 ABCD 是正方形，

MA = MB = MC = MD

$$\begin{aligned} \overrightarrow{MA} &= \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} \ &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM} \ &\equiv (1 + j5) - (-2 + jj) \ &= 3 + j4 \end{aligned}$$

记住，将复数乘以 j 会使其旋转

$$\angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle DMA = \frac{1}{2}\pi$$

^{1 2} 沿逆时针方向旋转弧度，我们有

$$\overrightarrow{MB} = j\overrightarrow{MA} \equiv j(3 + j4) = -4 + j3$$

得到

$$\overline{OB} = \overline{OM} + \overline{MB} \equiv (-2 + j) + (-4 + j3) = -6 + j4$$

同样地

$$\overrightarrow{MC} = j\overrightarrow{MB} \equiv j(-4 + j3) = -3 - j4$$

$$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC} \equiv -5 - j3$$

图 4.24 例 4.15 的正方形。

图 4.25

例 4.16 的正方形。