和

$$\overrightarrow{MD} = j\overrightarrow{MC} \equiv j(-3 - j4) = 4 - j3$$

给出

$$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MD} \equiv 2 - j2$$

因此顶点 B、C 和 D 分别由复数 $-6 + j4$ , $-5 - j3$ 和 $2 - j2$ 表示。

4.2.7 练习题

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。

• 11 已知 $\mathbf{a} = (1, 1, 0)$ , $\mathbf{b} = (2, 2, 1)$ 和 $\mathbf{c} = (0, 1, 1)$ ，求值

• (g) $\hat{a}$	(h) $\hat{b}$
  12	若点 P 和 Q 的位置向量分别为 $i + 3j - 7k$ 和 $5i - 2j + 4k$ ，求 $\vec{PQ}$ 并确定其长度和方向余弦。
  13	质点 P 受到若干力（以牛顿为单位）的作用 $F_1 = 3i - 2j + 5k$ , $F_2 = -i + 7j - 3k$ , $F_3 = 5i - j + 4k$ 和 $F_4 = -2j + 3k$ 。求作用在 P 上的合力的大小和方向。
  14	若 $a = 3i - 2j + k$ , $b = -2i + 5j + 4k$ , $c = -4i + j - 2k$ 且 $d = 2i - j + 4k$ ，求 $\alpha$ , $\beta$ 和 $\gamma$ 使得 $d = \alpha a + \beta b + \gamma c$
  15	证明向量 $2i - 4j - k$ , $3i + 2j - 2k$ 和 $5i - 2j - 3k$ 可以构成一个三角形的三条边。求该三角形每条边的长度，并证明它是直角三角形。
  16	求向量 $a$ 的分量，该向量的模为 2 个单位，且与 Ox、Oy、Oz 轴分别成角 $60^\circ$ , $60^\circ$ 和 $135^\circ$ 。
  17	点 A、B 和 C 的坐标为 $(1, 2, 2)$ , $(7, 2, 1)$ 和 $(2, 4, 1)$ 相对于直角坐标轴。求：

• (a) 向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{AC}$

• $$(b) \quad |\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}|$$

• (c) 方向上的单位向量 $\vec{AB} - 3\vec{AC}$

• (d) 向量的长度 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$

• (e) 向量 $\vec{AM}$ 其中 $M$ 是……的中点 $BC$ 。

  18 在 $x$ - $y$ 平面 $\vec{AB} = (1, -2)$ 上， $B$ 是坐标为 $(2, 2)$ 的点。求点 $A$ 的坐标。点 $C$ 的坐标为 $(3, 2)$ ；求 $D$ 使得 $\vec{AB} = \vec{CD}$ 。

  19 已知点 $P(1, -3, 4)$ , $Q(2, 2, 1)$ 和 $R(3, 7, -2)$ ，求向量 $\vec{PQ}$ 和 $\vec{QR}$ 。证明 $P$ , $Q$ 和 $R$ 位于同一条直线上，并求比值 $PQ:QR$ 。

  20 相对于一处码头，两艘船在正午时的位置向量（单位：千米）分别为 $A$ 和 $B$ ，分别为

  $$3i + j \quad \text{and} \quad i - 2j$$ 。两船的速度为 $A$ 和 $B$ ，它们为常数，单位是千米每小时，

  $$10i + 24j \quad \text{and} \quad 24i + 32j$$ 求两船之间的距离 $t$ 小时后的值，并求出该距离取得最小值的时刻。

  21 若复数 $z_1$ , $z_2$ 和 $z_3$ 在阿根图（Argand 图）上分别由点 $P_1$ , $P_2$ 和 $P_3$ 表示，且

  $$\vec{OP_2} = 2j\vec{OP_1} \quad \text{and} \quad \vec{OP_3} = \frac{2}{5}j\vec{P_2P_1}$$ 证明 $P_3$ 是从 $O$ 到直线上 $P_1P_2$ .