22 在阿甘德图上，ABCD 是一个按逆时针方向标记的正方形，A 表示 $3 + j2$ ，B 表示 $-1 + j4$ 。证明 C 位于实轴上，并求 D 所表示的复数以及 AB 的长度。

23 一个三角形的顶点 A、B、C 分别由 $1 + j$ , $2 - j$ 和 $-1$ 表示。求与 A、B、C 等距的点。

24 给定三角形 OAB，其中 O 是原点，并将对边的中点记为 O'、A' 和 B'，用向量方法证明直线 OO'、AA' 和 BB' 交于一点。（注意，这就是三角形的中线交于重心的结论。）

25 三个重物 $W_1$ , $W_2$ 和 $W_3$ 在图 4.26 所示的滑轮系统上处于平衡悬挂状态。滑轮被视为光滑的，力按向量加法规则相加。计算 $\theta$ 和 $\phi$ ，即绳索与水平方向所成的角度。

26 一根电报线杆 OP 在 P 点连接有三根导线。导线的另一端连接到 A、B 和 C 处的房屋。坐标轴按图 4.27 所示建立。相对于这些轴的点， $\xrightarrow{\text{metres}}$ 为 $\overline{\text{OP}} = 8\text{k}$ ,

$$\overrightarrow{OA} = 20j + 6k$$ , $\overrightarrow{OB} = -i - 18j + 10k$ 和

$$\overline{OC} = -22i + 3j + 7k$$ 。每根

绳的张力为 900 N。求作用在 P 点的总力。

一根与地面成 45° 角的拉索连接到 P 点并固定在地面上。地面固定点应放在哪里？需要多大的张力才能保证 P 点的水平合力为零？

图 4.26 第 25 题的滑轮系统。

图 4.27 第 26 题的电报杆。

4.2.8 标量积

数学中一个自然的想法（在第 1 章中已探讨过）是不仅将量相加，还将它们相乘。向量乘法的概念转化为许多工程应用中的有用工具，其中两种不同的向量乘积——“标量积”和“向量积”——被证明尤为重要。

确定向量的分量是分析许多物理问题的基本步骤。对于图 4.28 中所示的向量 $\mathbf{a}$ ，其沿 OP 方向的分量就是 $\mathbf{a}$ 。该分量在力做功的物理背景中是相关的。假设一个恒力 $\text{ON} = |\mathbf{a}| \cos \theta$ 的作用点 O 沿向量 $\mathbf{F}$ 从 O 移动到点 A，如图 4.29 所示。 $\mathbf{a}$ 的分量 $\mathbf{F}$ 在 $\mathbf{a}$ 方向上 $|\mathbf{F}| \cos \theta$ ，且 O 移动了一段距离 $|\mathbf{a}|$ 。所做的功定义为作用点移动的距离与力在该方向上的分量的乘积。因此它由下式给出

$$\text{work done} = |\mathbf{F}| |\mathbf{a}| \cos \theta$$

图 4.28 $a$
在 OP 方向上的分量为
$\text{ON} = |a| \cos \theta$ .