用几何术语表示的数量积定义与力所做的功的表达式形式相同。同样存在一个等价的分量定义，现将两种定义一并列出。

定义

两个向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 的数量积（或点积、内积）定义如下：

分量形式

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \quad (4.2\text{a})$$

几何形式

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$ ，其中 $\theta$ ( $0 \leq \theta \leq \pi$ ) 是两个向量之间的夹角

这两种定义在不同的情形下都很有用，但要建立基本法则，分量定义更为简单。利用三角形余弦定理可以很容易地证明两种定义的等价性。利用图 4.30，余弦定理 (2.16) 表明

$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos \theta$$

用适当的向量或分量记号可写成

$$(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \ - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$

于是展开左边可得

$$\begin{aligned} & a_1^2 - 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 - 2a_2b_2 + b_2^2 + a_3^2 - 2a_3b_3 + b_3^2 \ &= a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 + a_3^2 + b_3^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta \end{aligned}$$

因此

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \quad (4.2b)$$

需要注意两个要点：(i) 两个向量的标量积给出一个数；(ii) 标量积仅定义为两个向量的乘积，而不是任意其他两个量之间的乘积。因此，a · b 中两个向量之间的点号（·）是必不可少的。

基本规则和性质

现在建立基本规则非常简单直接。

(a) 交换律

$$a \cdot b = b \cdot a$$

图 4.29

恒力所做的功 $F$ 其作用点从 $O$ 移动到 $A$ 为 $|F| |a| \cos \theta$ .

b

a

B

图 4.30 三角形的余弦定理；标量积的几何定义与分量定义的等价性。