图 4.33 第 40 题中的吊柱。

4.2.9 习题

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• 27 已知 $\mathbf{u} = (4, 0, -20)$ , $\mathbf{v} = (3, 1, -1)$ , $\mathbf{w} = (2, 1, 6)$ 和 $s = (1, 4, 1)$ ，求值

• 28 已知 $u, v, w$ 和 $s$ 与第 27 题相同，求

29 已知向量 $\mathbf{u} = (1, 0, 0)$ , $\mathbf{v} = (1, 1, 0)$ , $\mathbf{w} = (1, 1, 1)$ 和 $\mathbf{s} = (2, 1, 2)$ , 求 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ 满足 $\mathbf{s} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} + \gamma \mathbf{w}$ 。若 $\mathbf{u}' = (1, -1, 0)$ , $\mathbf{v}' = (0, 1, -1)$ 和 $\mathbf{w}' = (0, 0, 1)$ 证明

$$\mathbf{s} = (\mathbf{s} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}' + (\mathbf{s} \cdot \mathbf{v})\mathbf{v}' + (\mathbf{s} \cdot \mathbf{w})\mathbf{w}'$$ $$s = (s \cdot u)u' + (s \cdot v)v' + (s \cdot w)w'$$

30 已知 $|a| = 3$ , $|b| = 2$ 和 $a \cdot b = 5$ 求 $|a + 2b|$ 和 $|3a - b|$ 。求两向量之间的夹角 $a + 2b$ 和 $3a - b$ 。

31 求力 $\mathbf{F} = (-2, -1, 3)$ 将质点从位置向量为点 P 移动到位置向量为点 Q 所做的功 $(-1, 2, 3)$ 和 $(1, -3, 4)$ 。

32 求一个大小为 5 单位、方向沿向量 $(3, 2, 1)$ 的力在向量 $(2, -3, 1)$ 方向上的分量。

33 求使两个向量 $t$ 和 $\mathbf{a} = (3, 1, 0)$ 之间的夹角等于 $\mathbf{b} = (t, 0, 1)$ 的值 $45^\circ$ 。

34 对于空间中任意四点 A、B、C 和 D，证明

$$(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB}) = 0$$

35 若 $(\mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{a}) \cdot \mathbf{a} = (\mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{b}) \cdot \mathbf{b} = 0$ ，证明向量 $\mathbf{c} - \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$ 垂直于 $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 。

36 证明连接点 (2, 3, 4) 和 (1, 2, 3) 的直线垂直于连接点 (1, 0, 2) 和 (2, 3, -2) 的直线。

37 证明菱形的对角线互相垂直。若一条对角线的长度是另一条的两倍，证明两条对角线的长度分别为 $2a/\sqrt{5}$ 和 $4a/\sqrt{5}$ ，其中 $a$ 是菱形的边长。

38 求以原点为轴上一点、单位向量 $\mathbf{a}$ 沿轴方向、半径为 $R$ 的圆柱面的方程。

39 一个立方体的顶点坐标为 $(0, 0, 0)$ , $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(1, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ , $(1, 0, 1)$ , $(0, 1, 1)$ 和 $(1, 1, 1)$ 。求表示立方体对角线的向量，进而求出对角线的长度以及对角线之间的夹角。

40 一艘救生艇悬挂在吊艇柱上，如图 4.33 所示， $x$ 方向、吊艇柱的竖直部分和吊艇柱的悬臂相互垂直。绳索系在甲板上距吊艇柱距离为 $X$ 处。已知吊艇柱在 $x$ 方向上能承受的最大力为 200 N。如果所支撑的重量为 500 N，且滑轮系统为单环，使张力为 250 N，那么求 $X$ 所能取的最大值。