4.2.10 矢量积

矢量积或叉积是在十九世纪发展起来的，其主要实际用途是定义三维空间中力的矩。通常只有在三维空间中才会使用矢量积。将其推广到二维矢量的适用范围有限，因为对于二维问题，所有矢量都限制在一个平面内，矢量积的方向总是垂直于该平面。

定义

给定两个矢量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，我们将矢量积以几何方式定义为

$$a \times b = |a| |b| \sin \theta \hat{n} \quad (4.5)$$

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ( $0 \leq \theta \leq \pi$ 之间的夹角），而 $\hat{\mathbf{n}}$ 是同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和的单位矢量 $\mathbf{b}$ 使得 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \hat{\mathbf{n}}$ 构成右手系——见图 4.34 以及 4.2.1 节开头处的定义。

图 4.34
向量积 $a \times b$ ，
右手定则。

必须认识到，两个向量的向量积本身是一个向量。另一种记号 $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ 有时也用来表示向量积，但不太常用，因为类似的楔形符号 $\wedge$ 还有其他用途（见 6.4.2 节）。向量积有着广泛的应用。

向量积有着广泛的应用。

带电粒子在磁场中的运动

• 如果带电粒子具有速度 $\mathbf{v}$ 并在磁场中运动 $\mathbf{H}$ 则该粒子会受到一个垂直于两者的力 $\mathbf{v}$ 以及 $\mathbf{H}$ ，它与 $\mathbf{v} \times \mathbf{H}$ 成正比。正是这种力被用来在电视显像管中引导电子束。
• 类似地，一根以速度 $\mathbf{v}$ 在磁场中 $\mathbf{H}$ 运动的导线会产生与 $\mathbf{v} \times \mathbf{H}$ 成正比的电流（见图 4.35），从而将机械能转化为电流，并提供了发电机的原理。
• 对于电动机而言，其原理基于这样一个观察：电流 $\mathbf{C}$ 在位于磁场中的导线里 $\mathbf{H}$ 会产生与 $\mathbf{C} \times \mathbf{H}$ ；再见图 4.35。因此电能被转换为机械力。