力的矩

力的矩或力偶矩 $\mathbf{F}$ 是向量积在力学背景下的经典应用。虽然在二维中矩很容易定义，但扩展到三维并不那么容易。然而，用向量表示法，如果力通过点 $P$ 和 $\overline{OP} = \mathbf{r}$ ，如图 4.36 所示，那么该力关于 $\mathbf{M}$ 的矩 $O$ 被简单地定义为

$$M = \mathbf{r} \times F = |\mathbf{r}| |\mathbf{F}| \sin \theta \hat{n} = \text{OQ} |\mathbf{F}| \hat{n} \quad (4.6)$$

这是一个沿法线方向的向量 $\hat{n}$ ，并且矩按通常的平行四边形法则相加。

刚体的角速度

向量积的另一个应用与旋转物体有关。考虑一个以角速度 $\omega$ （单位为 rad s^-1) 绕通过固定点 O 的固定轴 LM 转动，如图 4.37 所示。刚体上位置矢量为 $\mathbf{r}$ 的一点 P 相对于 O 将沿圆形路径运动，该圆所在平面垂直于 OM，其圆心 N 位于 OM 上。若 NQ 为固定方向，且角 QNP 等于 $\chi$ ，则

角速度的大小 = $$\frac{d\chi}{dt} = \omega$$

图 4.35

在磁场中 $H$ ，(i) 导线沿 $v$ 方向运动会在 $H \times v$ 方向产生电流（发电机），(ii) 电流 $C$ 引起沿 $v$ 方向的运动（电动机）。 $C \times H$

图 4.36

力的矩。