（注意，我们在这里用到了导数的概念，导数将在第 8 章后面介绍。）速度 $\mathbf{v}$ 的 $P$ 方向将沿所示切线方向，其大小为

$$v = \text{NP} \frac{d\chi}{dt} = \text{NP}\omega$$

如果我们定义 $\omega$ 为一个大小为 $\omega$ 且方向沿旋转轴、指向旋转驱动右手螺旋前进方向的向量，那么

$$v = \omega \times r \quad (4.7)$$

就在大小和方向上都正确地定义了 P 的速度。这个向量 $\omega$ 称为刚体的角速度。

平行四边形和三角形的面积

从图 4.38 我们可以几何地得出，平行四边形 ABCD 的面积由下式给出

$$\text{area} = h|\overline{\text{AB}}| = |\overline{\text{AD}}|\sin\theta|\overline{\text{AB}}| = |\overline{\text{AD}} \times \overline{\text{AB}}|$$

另请注意，三角形 ABD 的面积为 $\frac{1}{2}|\vec{AD} \times \vec{AB}|$ , 这与结果相符

$$\text{area of trianglgle ABD} = \frac{1}{2}(\text{AD})(\text{AB})\sin\theta$$

我们现在考察矢量积的性质，以确定通常的代数定律是否适用。

基本性质

(a) 反交换律

$$a \times b = -(b \times a)$$

这直接源于几何定义 (4.5) 中右手系的规定，因为 $\hat{n}$ 当乘法顺序颠倒时方向会改变。因此，矢量积不满足交换律，而是满足反交换律，这与标量的乘法或两个矢量的标量积不同。所以乘法的顺序

图 4.37
刚体的角速度。

图 4.38
平行四边形的表示。