由于力 $\mathbf{F}$ 的大小为 4 个单位

$$\mathbf{F} = \frac{4}{\sqrt{45}} (4, 5, -2)$$

P 相对于 A 的位置向量为

$$\vec{AP} = (1, 1, -2)$$

因此由 (4.6) 可知该力 $\mathbf{M}$ 对 A 的矩为

$$\begin{aligned} \mathbf{M} = \vec{AP} \times \mathbf{F} &= \frac{4}{\sqrt{45}} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 1 & -2 \ 4 & 5 & -2 \end{vmatrix} \ &= (32/\sqrt{45}, -24/\sqrt{45}, 4/\sqrt{45}) \end{aligned}$$

对通过 A 且平行于坐标轴的轴的矩为 $32/\sqrt{45}$ , $-24/\sqrt{45}$ 以及 $4/\sqrt{45}$ .

例 4.29

一刚体以角速度 $5 \text{ rad s}^{-1}$ 绕一沿向量 $(1, 3, -2)$ 方向且通过点 $A(2, 3, -1)$ 。求该点的线速度 $P(-2, 3, 1)$ 刚体的。

解

沿转轴方向的单位向量为 $\frac{1}{\sqrt{14}} (1, 3, -2)$ 。因此该刚体的角速度向量为

$$\boldsymbol{\omega} = (5/\sqrt{14})(1, 3, -2)$$

P 相对于 A 的位置向量为

$$\vec{AP} = (-2 - 2, 3 - 3, 1 + 1) = (-4, 0, 2)$$

于是由 (4.7) 可得 P 的线速度为

$$\begin{aligned} \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \vec{AP} &= \frac{5}{\sqrt{14}} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 3 & -2 \ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix} \ &= (30/\sqrt{14}, 30/\sqrt{14}, 60/\sqrt{14}) \end{aligned}$$

例 4.30

一扇活动门通过系在其一个角上的绳子来升降。绳子绕过一个固定在铰链上方 50 cm 处的 A 点的滑轮被拉动，如图 4.42 所示。若活动门是均匀的且重 20 N，问提起该门所需的拉力是多少？