解答 根据给出的数据，我们可以立即计算出各个向量。

$$\overline{OA} = (0, 30, 50)$$ , $\overline{OB} = (60, -50, 0)$ , $\overline{OH} = (0, 30, 0)$

如果 $M$ 是活板门的中点，则

$$\overrightarrow{OM} = (30, 0, 0)$$

所受的力有沿 BA 方向的绳中张力 $T$ 、通过 M 的沿 $W$ 方向的重力 $-z$ 以及铰链处的反作用力 $R$ 和 $S$ 。现在

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (60, -80, -50)$$

因此 $|\overrightarrow{AB}| = 112$ , 因此

$$T = -T(60, -80, -50)/112$$

对铰链 H 取矩，我们首先注意到 H 处的反作用力没有力矩。对于其余的力

$$\begin{aligned} M_H &= \overline{HM} \times \mathbf{W} + \overline{HB} \times \mathbf{T} + \overline{HK} \times \mathbf{R} \ &= (30, -30, 0) \times (0, 0, -20) + (60, -80, 0) \times (60, -80, -50)(-T/112) + \overline{HK} \times \mathbf{R} \ &= (600, 600, 0) + T(-35.8, -26.8, 0) + \overline{HK} \times \mathbf{R} \end{aligned}$$

由于我们需要关于 $y$ 轴的力矩，我们取 $\mathbf{M}_H$ 的标量积 $\mathbf{j}$ 。向量 $\overline{\mathbf{HK}}$ 沿 $\mathbf{j}$ 方向，所以 $\mathbf{j} \cdot (\overline{\mathbf{HK}} \times \mathbf{R})$ 必须为零。因此 $\mathbf{j}$ 分量属于 $\mathbf{M}_H$ 在活板门刚打开时必须为零；也就是说，

$$0 = 600 - 26.8T$$

因此

$$T = 22.4$$ N

图 4.42
例 4.30 中的
活板门。