图 4.43 正弦定理：见 2.6.1 节。

47 证明

$$(a - b) \times (a + b) = 2(a \times b)$$

$$|a \cdot b|^2 + |a \times b|^2 = a^2 b^2$$

$$a \times b = b \times c = c \times a$$

并给出几何解释。

4.2.11 习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

• 41 已知 $\mathbf{p} = (1, 1, 1)$ , $\mathbf{q} = (0, -1, 2)$ 和 $\mathbf{r} = (2, 2, 1)$ ，求

• (e) $q \cdot \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ (f) $(\mathbf{p} \times \mathbf{r}) \times \mathbf{q}$

  42 给定向量 $\mathbf{a} = (1, -1, 2)$ , $\mathbf{b} = (0, 1, 3)$ , $\mathbf{c} = (-2, 2, -4)$ 。

• 41	已知 $\mathbf{p} = (1, 1, 1)$ , $\mathbf{q} = (0, -1, 2)$ 和 $\mathbf{r} = (2, 2, 1)$ ，求值	48	点 A、B 和 C 的坐标为 $(1, -1, 2)$ , $(9, 0, 8)$ 和 $(5, 0, 5)$ （相对于直角笛卡尔坐标系）。求
  	(a) $\mathbf{p} \times \mathbf{q}$	(b) $\mathbf{p} \times \mathbf{r}$
  	(c) $\mathbf{r} \times \mathbf{q}$	(d) $(\mathbf{p} \times \mathbf{r}) \cdot \mathbf{q}$
  	(e) $\mathbf{q} \cdot (\mathbf{r} \times \mathbf{p})$	(f) $(\mathbf{p} \times \mathbf{r}) \times \mathbf{q}$
  42	向量 $\mathbf{a} = (1, -1, 2)$ , $\mathbf{b} = (0, 1, 3)$ , $\mathbf{c} = (-2, 2, -4)$ 已给出。	49	利用数量积和向量积的定义证明
  	(a) 求 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$	$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ^2 + \mathbf{a} \times \mathbf{b} ^2 = \mathbf{a}^2 \mathbf{b}^2$
  	(b) 写出向量 $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ 和 $\mathbf{c} \times \mathbf{b}$
  	(c) 证明 $\mathbf{c} \times \mathbf{a} = 0$ 并解释这个结果。	50	如果 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 是三个向量，满足 $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0$ ，证明
  	计算 $2\mathbf{j} \times (3\mathbf{i} - 4\mathbf{k})$ 和 $(\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \times \mathbf{k}$ .	$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{c} \times \mathbf{a}$
  	给定向量 $\mathbf{a} = (-3, -1, -2)$ 和 $\mathbf{b} = (2, 3, 1)$ ，求 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ 和 $(\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) \times (2\mathbf{a} - \mathbf{b})$ .	，并给出几何解释。
  45	设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ , $\mathbf{b} = (2, 1, 4)$ 和 $\mathbf{c} = (1, -1, 2)$ 。计算 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 和 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ ，并验证这两个向量不相等。	51	刚体以角速度 $6 \text{ rad s}^{-1}$ 绕一轴旋转，该轴沿向量 $(3, -2, 1)$ 的方向，并通过点 $A(3, -2, 5)$ 。求刚体上点 $P(3, -2, 1)$ 的线速度。
  46	证明图 4.43 中三角形 ABC 的面积为 $\frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{AC} $ 。证明	52	一个大小为 4 单位的力作用于点 $P(4, -1, 2)$ ，方向沿向量 $(2, -1, 4)$ .

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB}$$

，并由此推导正弦定理

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$$

52 一个大小为 4 单位的力作用于点 $P(4, -1, 2)$ 沿向量 $(2, -1, 4)$ 的方向。求它关于点 $A(3, -1, 4)$ 的矩。

53 作用于点 P 的力 $F$ 关于点 O 的矩定义为一个向量 $M$ ，它垂直于包含 $F$ 和点 O 的平面，且满足 $|M| = p|F|$ ，其中 $p$ 是 O 到 $r$ 作用线的垂直距离。图 4.44 展示了这样一个力 $F$ . 证明 O 到作用线的垂直距离

图 4.44 力矩 $F$ 关于 O。