一颗卫星静止于 $P(2, 5, 4)$ 处，如果任何物体进入距离 3 个单位以内，就会触发警报信号。判断一枚沿直线运动、经过 $A(1, 5, 2)$ 和 $B(3, -1, 5)$ 的火箭是否会触发警报信号。

56 带电粒子（质量为 ssss，电荷为 $\mathbf{r}$ ）在时刻 $O$ 相对于给定原点 $e$ 的位置向量 $t$ 由下式给出，其中

$$\mathbf{r} = \left( \frac{Et}{B} + a \sin(\omega t) \right) \mathbf{i} + a \cos(\omega t) \mathbf{j} + ct\mathbf{k}$$

和 $E$ , $B$ , $a$ $\omega$ 为常数。相应的速度和加速度为

$$\mathbf{v} = \left( \frac{E}{B} + a\omega \cos(\omega t) \right) \mathbf{i} - a\omega \sin(\omega t) \mathbf{j} + c\mathbf{k}$$

$$f = -a\omega^2 \sin(\omega t)i - a\omega^2 \cos(\omega t)j$$

对于或当 $\mathbf{B} = \mathbf{B}k$ 的情形，证明运动方程

$$mf = e(Ej + v \times B)$$

在适当选取 $\omega$ 的情况下成立。

的 $F$ 为 $|\mathbf{r}|\sin\theta$ ，其中 $\mathbf{r}$ 是 $P$ 的位置向量。由此推证 $M = \mathbf{r} \times F$ 。证明……的矩为 $F$ 关于 $O$ 对于作用线上的任意一点都是相同的 $P$ 在 $F$ 的作用线上。

力 (1, 0, 0)、(1, 2, 0) 和 (1, 2, 3) 分别通过点 (1, 1, 1)、(0, 1, 1) 和 (0, 0, 1) 作用：

• (a) 求每个力关于原点的矩。
• (b) 求每个力关于点 (1, 1, 1) 的矩。
• (c) 求这三个力关于点 (1, 1, 1) 的总矩。

54 求一个垂直于两个向量所在平面的单位向量 $(2, -1, 1)$ 和 $(3, 4, -1)$ 。这两个向量之间夹角的正弦是多少？

55 证明：点 P 到通过点 A 和 B 的直线的最短距离为

$$\frac{|\vec{AP} \times \vec{AB}|}{|\vec{AB}|}$$

4.2.12 三重积

在例 4.24 中，计算了多个向量的乘积：乘积 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$ 称为三重标量积，而乘积 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 称为三重向量积。

三重标量积

三重标量积之所以重要，是因为它具有几何解释。观察图 4.45，我们可以看到

$$\begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta k \ &= (\text{area of the parallelogram OACB}) k \end{aligned}$$

因此，根据定义，

• $$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (\text{area of OACB})\mathbf{k} \cdot \mathbf{c}$$

  $= (\text{area of OACB})|\mathbf{k}||\mathbf{c}|\cos \phi$
  $= (\text{area of OACB})h$ （其中 $h$ 是平行六面体的高）
  $= \text{volume of the parallelepiped}$

考虑到 $(a \times b) \cdot c$ 为张成于其上的平行六面体的体积， $a$ , $b$ , $c$ 有若干有用的推论。