• (a) 如果其中两个向量 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 平行，则 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = 0$ 。这是因为平行六面体塌缩成一个平面，体积为零。特别地，

$$(a \times b) \cdot a = 0$$ 和 $(a \times b) \cdot b = 0$

• (b) 如果三个向量共面，则 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = 0$ 。与 (a) 中相同的推理可得出此结果。

• (c) 如果 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = 0$ ，则要么 $\mathbf{a} = 0$ 要么 $\mathbf{b} = 0$ 或 $\mathbf{c} = 0$ 或其中两个向量平行，或三个向量共面。

• (d) 在混合积中，点乘 · 和叉乘 × 可以交换：

$$(a \times b) \cdot c = a \cdot (b \times c)$$

因为容易验证它们度量的是同一个体积，该体积建立在 $a$ , $b$ , $c$ 上。如果我们保持这三个向量相同的循环顺序，则得到

$$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b) \quad (4.11)$$

• (e) 用直角坐标形式，混合积可以写成行列式

$$\mathbf{a} \cdot(b \times c)} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \quad (4.12)$$

$$= a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1$$

例 4.31 求 $\lambda$ 使得 $a = (2, -1, 1)$ , $b = (1, 2, -3)$ 和 $c = (3, \lambda, 5)$ 共面。

解

解 这些向量都不是零向量也不平行，因此根据性质 (b)，这三个向量共面当且仅当 $(a \times b) \cdot c = 0$ 现在

$$a \times b = (1, 7, 5)$$

因此

$$(a \times b) \cdot c = 3 + 7\lambda + 25$$

图 4.45
三重数量积
作为平行六面体的体积。