例 4.32 在三角形 OAB 中，边 $\overline{OA} = \mathbf{a}$ 和 $\overline{OB} = \mathbf{b}$ 已知。求点 P，满足 $\mathbf{c} = \overline{OP}$ ，即两条边的垂直平分线的交点。由此证明三角形各边的垂直平分线交于一点。

解 设 $\hat{k}$ 为垂直于三角形所在平面的单位向量；情形如图 4.46 所示。

图 4.46
例 4.32 中的
垂直
平分线。

现在

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}' + \overrightarrow{A'P} = \frac{1}{2}a + \alpha\hat{k} \times a$$

对某个 $\alpha$ 成立，因为向量 $\hat{k} \times \mathbf{a}$ 沿垂直于 $\mathbf{a}$ 的方向。类似地

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{+} \overrightarrow{B'P} = \frac{1}{2}b + \beta\hat{k} \times b$$

将这两个方程相减

$$\frac{1}{2}a + \alpha \hat{k} \times a = \frac{1}{2}b + \beta \hat{k} \times b$$

将此方程与 $b$ 取点积，这会消去最后一项，因为 $b \cdot (\hat{k} \times b) = 0$ ，并得到

$$\frac{1}{2} \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = \alpha \boldsymbol{b} \cdot (\hat{\boldsymbol{k}} \times \boldsymbol{a})$$

因此 $\alpha$ 已经用已知数据表示出来，所以假设 $b \cdot (\hat{k} \times a) \neq 0$

$$\overrightarrow{\text{OP}} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{\frac{1}{2}\mathbf{b} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{a})}{\mathbf{b} \cdot (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{a})} \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{a}$$

现在我们需要验证 PQ 垂直于 AB：

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = b - a$$

和

$$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{1}{2}(a + b) - \frac{1}{2}a - \frac{\frac{1}{2}b \cdot (b - a)}{b \cdot (\hat{k} \times a)} \hat{k} \times a$$