现在求这两个向量的点积

$$\left[ \frac{1}{2}b - \frac{\frac{1}{2}b \cdot (b-a)}{b \cdot (\hat{k} \times a)} \hat{k} \times a \right] \cdot (b-a) = \frac{1}{2}b \cdot (b-a) - \frac{\frac{1}{2}b \cdot (b-a)}{b \cdot (\hat{k} \times a)} b \cdot (\hat{k} \times a) = 0$$

由于 PQ 和 AB 都不为零，因此这两个向量必定垂直。所以三角形三边的垂直平分线交于一点。

例 4.33 给定三个非零、非平行且非共面的向量 a、b 和 c。另外三个向量用 a、b 和 c 表示为

$$\mathbf{A} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c}$$

$$B = \alpha' a + \beta' b + \gamma' c$$

$$C = \alpha''a + \beta''b + \gamma''c$$

求三重标量积 $A \cdot (B \times C)$ 与 $a \cdot (b \times c)$ 的关系。

解 为了得到结果，我们利用以下事实：(i) 相同向量的向量积为零；(ii) 若乘积中有两个向量相同，则三重标量积为零。现在

$$\begin{aligned} A \cdot (B \times C) &= (\alpha a + \beta b + \gamma c) \cdot [(\alpha' a + \beta' b + \gamma' c) \times (\alpha'' a + \beta'' b + \gamma'' c)] \ &= (\alpha a + \beta b + \gamma c) \cdot [\alpha' \beta'' a \times b + \alpha' \gamma'' a \times c + \beta' \alpha'' b \times a \ &\quad + \beta' \gamma'' b \times c + \gamma' \alpha'' c \times a + \gamma' \beta'' c \times b] \ &= (\alpha a + \beta b + \gamma c) \cdot [(\alpha' \beta'' - \beta' \alpha'') a \times b + (\beta' \gamma'' - \gamma' \beta'') b \times c \ &\quad + (\gamma' \alpha'' - \alpha' \gamma'') c \times a] \ &= \gamma(\alpha' \beta'' - \beta' \alpha'') c \cdot a \times b + \alpha(\beta' \gamma'' - \gamma' \beta'') a \cdot b \times c \ &\quad + \beta(\gamma' \alpha'' - \alpha' \gamma'') b \cdot c \times a \ &= (a \cdot b \times c) [\alpha(\beta' \gamma'' - \gamma' \beta'') + \beta(\gamma' \alpha'' - \alpha' \gamma'') + \gamma(\alpha' \beta'' - \beta' \alpha'')] \end{aligned}$$

该结果用行列式形式（见下一章第 5.3 节）表示最为方便，即

$$A \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \alpha' & \beta' & \gamma' \ \alpha'' & \beta'' & \gamma'' \end{vmatrix} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c})$$

三重向量积

对于三重向量积，我们将一般性地证明

$$(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a \quad (4.13)$$