如例中所建议 4.24. 由……可得 (4.9)

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$$

因此

$$\begin{aligned} (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} &= ((a_1b_1 - a_1b_3)c_3 - (a_1b_2 - a_2b_1)c_2, \ &\quad (a_1b_2 - a_2b_1)c_1 - (a_2b_3 - a_3b_2)c_3, \ &\quad (a_2b_3 - a_3b_2)c_2 - (a_3b_1 - a_1b_3)c_1) \end{aligned}$$

该向量的第一个分量是

$$\begin{aligned} a_3c_3b_1 - b_3c_3a_1 - b_2c_2a_1 + a_2c_2b_1 &= (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_1 - (b_1c_1 + b_2c_2 + b_3c_3)a_1 \ &= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})b_1 - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})a_1 \end{aligned}$$

类似地处理第二个和第三个分量, 我们得到

$$\begin{aligned} (a \times b) \times c &= ((a \cdot c)b_1 - (b \cdot c)a_1, (a \cdot c)b_2 - (b \cdot c)a_2, (a \cdot c)b_3 - (b \cdot c)a_3) \ &= (a \cdot c)b - (b \cdot c)a \end{aligned}$$

类似地，我们可以证明

$$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c \quad (4.14)$$

现在我们可以看出，为什么向量积的结合律一般不成立。. 向量在 (4.13) 位于……的平面内 b and a, 而向量在 (4.14) 位于……的平面内 b and c; 因此它们一般不在同一平面内, 正如我们从几何上推断的那样 (参见第 4.2.10). Consequently, 一般来说

$$a \times (b \times c) \neq (a \times b) \times c$$

所以使用括号是必不可少的.

Example 4.34 If $a = (3, -2, 1)$ , $b = (-1, 3, 4)$ and $c = (2, 1, -3)$ , 确认该

$$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$$

Solution