$$\begin{aligned} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} &= [(3)(2) + (-2)(1) + (1)(-3)](-1, 3, 4) \ &\quad - [(3)(-1) + (-2)(3) + (1)(4)](2, 1, -3) \ &= (-1, 3, 4) + 5(2, 1, -3) \ &= (9, 8, -11) \end{aligned}$$

从而证实了该结果

$$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$$

例 4.35 验证 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \neq (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 对于这三个向量 $\mathbf{a} = (1, 0, 0)$ , $\mathbf{b} = (-1, 2, 0)$ 以及 $\mathbf{c} = (1, 1, 1)$ 。

解 依次计算各叉积：

$$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = (-1, 2, 0) \times (1, 1, 1) = (2, 1, -3)$$

因此

$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (1, 0, 0) \times (2, 1, -3) = (0, 3, 1)$$

同样地，对右边：

$$a \times b = (1, 0, 0) \times (-1, 2, 0) = (0, 0, 2)$$

从而

$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = (0, 0, 2) \times (1, 1, 1) = (-2, 2, 0)$$

显然，对于这三个向量 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \neq (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ 。

例 4.36 向量 $a$ , $b$ 和 $c$ 以及标量 $p$ 满足方程

$$a \cdot b =p$$ 和 $a \times b=c$

且 a 不平行于 b。用其他量表示 a 并给出结果的几何解释。

解 首先将第二个方程与 $b$ :

$$b \times (a \times b) = b \times c$$

得到

$$(b \cdot b)a - (b \cdot a)b = b \times c$$

因此，利用 $a \cdot b = p$ 并整理各项，

$$a = \frac{pb + b \times c}{|b|^2}$$

由于 $b \times c$ 位于……的平面内 $a$ 和 $b$ ，平面内的任意向量都可以表示为 $b$ 和 $b \times c$ 的线性组合。表达式 $a$ 给出了该线性组合中系数的值。