4.2.13 习题

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。

57 求以这些向量为棱的平行六面体的体积 $(2, -3, 4)$ , $(1, 3, -1)$ , $(3, -1, 2)$ 。

58 证明向量 $(3, 2, -1)$ , $(5, -7, 3)$ 和 $(11, -3, 1)$ 共面。

59 求常数 $\lambda$ 使得三个向量 $(3, 2, -1)$ , $(1, -1, 3)$ 和 $(2, -3, \lambda)$ 共面。

60 证明具有位置向量 $(2, 1, 0)$ , $(2, -2, -2)$ , $(7, -3, -1)$ 和 $(13, 3, 5)$ 的四个点共面。

61 已知 $p = (1, 4, 1)$ , $q = (2, 1, -1)$ 和 $r = (1, -3, 2)$ ，求

• (a) 一个垂直于包含 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$ ;
• 的平面的单位向量 $p \times q$ (b) 一个位于包含 $p \times r$ 和 $x$ 的平面内且分量为零的单位向量。

62 证明：若 $\mathbf{a}$ 是任意向量， $\hat{u}$ 为任意单位向量，则

$$a = (a \cdot \hat{u})\hat{u} + \hat{u} \times (a \times \hat{u})$$

并画图从几何上说明这一关系。

向量 $(3, -2, 6)$ 被分解为沿某条直线方向和垂直于该直线的两个向量，该直线的方向余弦与 $(1, 1, 1)$ 成比例。求这两个向量。

63 三个向量 $u$ , $v$ , $w$ 用三个向量 $l$ , $m$ , $n$ 表示为如下形式

$$u = u_1l + u_2m + u_3n$$

$$\boldsymbol{v} = v_1\boldsymbol{l} + v_2\boldsymbol{m} + v_3\boldsymbol{n}$$

$$\mathbf{w} = w_1\mathbf{l} + w_2\mathbf{m} + w_3\mathbf{n}$$

证明

$$u \cdot (v \times w) = \lambda \cdot (m \times n)$$

并求值 $\lambda$ 。

64 力 $F_1, F_2, \dots, F_n$ 分别作用于点 $r_1, r_2, \dots, r_n$ 处。求合力以及关于原点的总力矩 $O$ 是

$$F = \sum F_i \quad \text{and} \quad G = \sum r_i \times F_i$$

证明对于任何其他原点 $O'$ 力矩由下式给出

$$G' = G + \overrightarrow{O'O} \times F$$

如果 O' 位于直线

$$\overrightarrow{OO'} = \mathbf{r} = \alpha(\mathbf{F} \times \mathbf{G}) + t\mathbf{F}$$

上，求常数 $\alpha$ 以确保 $G'$ 平行于 $F$ 。这条直线称为力系中心轴。

65 关于四向量乘积的拓展练习。

• (a) 利用 (4.11) 证明

$$(a \times b) \cdot (c \times d) = [(a \times b) \times c] \cdot d$$

并利用 (4.13) 化简右边的表达式。

• (b) 利用 (4.13) 证明

$$\begin{aligned} (a \times b) \times (a \times c) &= [a \cdot (a \times c)]b \ &- [b \cdot (a \times c)]a \end{aligned}$$

并证明右边可以化简为

[(a × b)· c]a

• (c) 利用 (4.14) 证明

$$\begin{aligned} a \times [b \times (a \times c)] \ = a \times [(b \cdot c)a - (b \cdot a)c] \end{aligned}$$

并进一步化简右边。注意该乘积与 (b) 中的结果不同，这验证了在叉积中括号的位置是很重要的。

• (d) 利用 (a) 中的结果证明

$$(l \times m) \cdot (l \times n) = l^2(m \cdot n) - (l \cdot m)(l \cdot n)$$

取 l、m 和 n 为沿正四面体棱方向的单位向量。推导出该四面体两个面之间的夹角为 $\cos^{-1}\frac{1}{3}$ .