4.3 直线与平面几何的向量处理

4.3.1 直线的向量方程

任取一个原点 $O$ 并设 $\overrightarrow{OA} = a$ , $\overrightarrow{OB} = b$ 和 $\overrightarrow{OP} = r$ ，如图 4.47 所示。如果 $P$ 是直线上的任意一点，那么

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}, \text{ by the triangle law}$$

得到

$$\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\overline{\mathbf{AB}}$$ （因为 $\overline{\mathbf{AP}}$ 是 $\overline{\mathbf{AB}}$ )

$$= \mathbf{a} + \iota(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \text{ (since } \mathbf{a} + \overrightarrow{\mathbf{AB}} = \mathbf{b})$$

的倍数） 因此直线的方程为

$$r = (1 - t)a + tb \quad (4.15)$$

当 $t$ 从 $-\infty$ 变化到 $+\infty$ 时，点 P 沿直线移动，其中 $t = 0$ 对应于点 A， $t = 1$ 对应于点 B。

由于 $\overline{OP} = \overline{OA} + \overline{AP} = \overline{OA} + tAB$ ，我们有 $r = a + t(b - a)$ 。如果我们写成 $c = b - a$ 那么我们就得到了过点 A 沿方向 $c$ :

$$r = a + tc \quad (4.16)$$

该方程的笛卡尔形式或分量形式为

$$\frac{x - a_1}{c_1} = \frac{y - a_2}{c_2} = \frac{z - a_3}{c_3} (= t) \quad (4.17)$$

其中 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3)$ 。另外，(4.15) 的笛卡尔方程也可以写成如下形式

$$\frac{x-a_1}{b_1-a_1} = \frac{y-a_2}{b_2-a_2} = \frac{z-a_3}{b_3-a_3} (= t)$$

其中 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 是直线上的两点。如果任何分母为零，则直线的两种方程形式都应解释为相应的分子为零。

例 4.37 求直线的方程 $L_1$ 经过点 $(0, 1, 0)$ 和 $(1, 3, -1)$ 以及 $L_2$ 经过 $(1, 1, 1)$ 和 $(-1, -1, 1)$ 。这两条直线是否相交？如果相交，交点是什么？

解答 由 (4.15) $L_1$ 的方程为

$$\mathbf{r} = (0, 1 - t, 0) + (t, 3t, -t) = (t, 1 + 2t, -t)$$

图 4.47
用……表示的直线 AB
$r = \overrightarrow{OP}$ .