和 $L_2$ 的方程为

$$\mathbf{r} = (1 - s, 1 - s, 1 - s) + (-s, -s, s) = (1 - 2s, 1 - 2s, 1)$$

注意， $L_2$ 的直角坐标方程可化简为 $x = y$ ; $z = 1$ 。若能找到 $s$ 和 $t$ 使得

$$t = 1 - 2s, \quad 1 + 2t = 1 - 2s, \quad -t = 1$$

则两条直线相交。解其中两个方程即可得到 $s$ 和 $t$ 的值。如果这些值满足剩下的方程，则两直线相交；如果不满足，则两直线不相交。在此例中，第三个方程给出 $t = -1$ 以及第一个方程 $s = 1$ 。将这些值代入第二个方程，左边等于 $-1$ 而右边等于 $-1$ ，所以所有方程都满足，因此两条直线相交。代回任一方程，交点为 $(-1, -1, 1)$ 。

例 4.38 点 A 和 B 的位置向量分别为

(1, 4, 6) 和 (3, 5, 7)

求直线 AB 的向量方程，并求该直线与坐标平面的交点。

解 该直线的方程为

$$\mathbf{r} = (1, 4, 6) + t(2, 1, 1)$$

或用分量表示为

$$x = 1 + 2t$$

$$y = 4 + t$$

$$z = 6 + t$$

因此该直线与 $y-z$ 平面相交于 $x = 0$ 从而 $t = -\frac{1}{2}$ 且与该平面的交点为 $(0, \frac{7}{2}, \frac{11}{2})$ 。

该直线与 $z-x$ 平面相交当 $y = 0$ 因此 $t = -4$ 且与平面的交点为 $(-7, 0, 2)$ 。

该直线与 $x$ - $y$ 平面相交当 $z = 0$ 因此 $t = -6$ 且与平面的交点为 $(-11, -2, 0)$ 。

例 4.39 直线 $L_1$ 经过位置向量为

(5, 1, 7) 和 (6, 0, 8) 的两点

且直线 $L_2$ 经过位置向量为

(3, 1, 3) 和 的点 $$(-1, 3, \alpha)$$