解答 使用向量形式：

由 (4.15)，两条直线的方程可以写成向量形式为

$$L_1\colon \quad \mathbf{r} = (5, 1, 7) + t(1, -1, 1)$$

$$L_2: \quad \mathbf{r} = (3, 1, 3) + s(-4, 2, \alpha - 3)$$

这两条直线相交，如果 $t$ , $s$ 和 $\alpha$ 可以被选取使得两个向量相等，即它们具有相同的分量。于是

$$5 + t = 3 - 4s$$

$$1 - t = 1 + 2s$$

$$7 + t = 3 + s(\alpha - 3)$$

其中前两个方程是关于 $t$ 和 $s$ 的联立方程。求解得 $t = 2$ 和 $s = -1$ 。将这些值代入第三个方程

$$9 = 3 - (\alpha - 3) \implies \alpha = -3$$

并且可以验证交点为 $(7, -1, 9)$ .

使用笛卡尔形式：

式 (4.17) 给出直线的方程为

$$L_1: \quad \frac{x-5}{6-5} = \frac{y-1}{0-1} = \frac{z-7}{8-7}$$

$$L_2: \quad \frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-1}{3-1} = \frac{z-3}{\alpha-3}$$

关于 $x$ 和 $y$ 的两个方程为

$$x - 5 = 1 - y$$

$$\frac{1}{4}(3 - x) = \frac{1}{2}(y - 1)$$

解得 $x = 7$ 和 $y = -1$ 。代入这些值， $z$ 和 $\alpha$ 的方程变为

$$z - 7 = 2$$

$$\frac{z-3}{\alpha-3} = -1$$

由此得到 $z = 9$ 和 $\alpha = -3$ 。

例 4.40 一个跟踪站在两个相继时刻观测到一架飞机的位置分别为

(−500, 0, 1000) 和 (400, 400, 1050)

相对于以下坐标轴： $x$ 指向正东方向， $y$ 指向正北方向，以及 $z$ 竖直向上，距离单位为米。求该飞机路径的方程。管制部门建议该飞机从当前位置改为在当前高度的水平飞行，并向东转过一个角度 $90^\circ$ ；新路径的方程是什么？