解答 该情形如图 4.48 所示。飞机路径的方程为

$$\mathbf{r} = (-500, 0, 1000) + t(900, 400, 50)$$

新路径从点 (400, 400, 1050) 开始。向量 $\overrightarrow{AB} \times \hat{k}$ 是一个方向向量，该方向 $\overrightarrow{BD}$ 垂直于 $\hat{k}$ ，因此是水平的，且与 AB 成 $90^\circ$ 角，方向朝东。于是我们有一个 $90^\circ$ 转向水平飞行。由于

$$(900, 400, 0) \times k = (400, -900, 0)$$

新路径为

$$\mathbf{r} = (400, 400, 1050) + s(400, -900, 0)$$

令各分量相等

$$x = 400 + 400s$$

$$y = 400 - 900s$$

$$z = 1050$$

在直角坐标系中，方程为

$$9x + 4y = 5200$$

$$z = 1050$$

例 4.41 需要钻探到一条地下管道以便进行维修，因此决定瞄准距测量点最近的点。以水平地面上的 x、y 轴为基准，z 轴竖直向下，远程测量仪器定位了管道上的两个点，位于

(20, 20, 30) 和 (0, 15, 32)

距离单位为米。求管道上距原点 O 最近的点。

解 该情形如图 4.49 所示。管道的方向为

$$d = (0, 15, 32) - (20, 20, 30) = (-20, -5, 2)$$

$$\mathbf{r} = (20, 20, 30) + t(-20, -5, 2)$$

图 4.48 例 4.40 中飞机的路径。