对于某些 $t$ 。注意，这只是 (4.15) 中给出的直线方程。在从 O 到管道的最短距离处，向量 $\mathbf{r} = \overrightarrow{OP}$ 垂直于 $\mathbf{d}$ ，因此 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{d} = 0$ 给出了求 $t$ 所需的条件。于是

$$(-20, -5, 2) \cdot [(20, 20, 30) + t(-20, -5, 2)] = 0$$

从而 $-440 + 429t = 0$ 。将此值代回 $r$ 得到

$$\mathbf{r} = (-0.51, 14.87, 32.05)$$

注意 t 的值接近于 1，所以最优点离所求出的第二个点不远。

例 4.42 求两条异面直线之间的最短距离

$$\frac{x}{3} = \frac{y-9}{-1} = \frac{z-2}{1} \quad \text{and} \quad \frac{x+6}{-3} = \frac{y+5}{2} = \frac{z-10}{4}$$

同时求出公垂线的方程。（注意：如果两条直线既不相交也不平行，则称它们为异面直线。）

解 用向量形式表示，两条直线的方程为

$$\mathbf{r} = (0, 9, 2) + t(3, -1, 1)$$

和

$$\mathbf{r} = (-6, -5, 10) + s(-3, 2, 4)$$

两条直线之间的最短距离即为它们的公垂线；见图 4.50。设 P1 和 P2 为公垂线的两个端点，其位置向量分别为 r1 和 r2，其中

$$\mathbf{r}_1 = (0, 9, 2) + t_1(3, -1, 1)$$

$$\mathbf{r}_2 = (-6, -5, 10) + t_2(-3, 2, 4)$$

例 4.41 的流程图