图 4.50
例 4.42 中的
异面直线。

那么向量 $\vec{P_2P_1}$ 由下式给出

$$\vec{P_2P_1} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 = (6, 14, -8) + t_1(3, -1, 1) - t_2(-3, 2, 4) \quad (4.18)$$

由于 $(3, -1, 1)$ 和 $(-3, 2, 4)$ 分别是每条直线方向的向量，因此与两条直线都垂直的向量 $\mathbf{n}$ 为

$$\mathbf{n} = (-3, 2, 4) \times (3, -1, 1) = (6, 15, -3)$$

所以与两条直线都垂直的单位向量为

$$\hat{\mathbf{n}} = (6, 15, -3)/\sqrt{270} = (2, 5, -1)/\sqrt{30}$$

因此我们也可以将 $\vec{P_2P_1}$ 表示为

$$\vec{P_2P_1} = d\hat{\mathbf{n}}$$

其中 $d$ 是两条直线之间的最短距离。

令两个表达式相等以求出 $\vec{P_2P_1}$ 得到

$$(6, 14, -8) + t_1(3, -1, 1) - t_2(-3, 2, 4) = (2, 5, -1)d/\sqrt{30}$$

对整个式子与向量作数量积 $(2, 5, -1)$ 得到

$$\begin{aligned} & (6, 14, -8) \cdot (2, 5, -1) + t_1(3, -1, 1) \cdot (2, 5, -1) - t_2(-3, 2, 4) \cdot (2, 5, -1) \ & = (2, 5, -1) \cdot (2, 5, -1)d/\sqrt{30} \end{aligned}$$

化简为

$$90 + 0t_1 + 0t_2 = 30d/\sqrt{30}$$

从而得出两条直线之间的最短距离为

$$d = 3\sqrt{30}$$

为了求公垂线的方程，我们需要求出 $P_1$ 或 $P_2$ 的坐标——为此我们需要求出 $t_1$ 或 $t_2$ 。因此我们依次用 $(3, -1, 1)$ 和 $(-3, 2, 4)$ 与 (4.18) 作标量积，分别得到

$$11t_1 + 7t_2 = 4$$

和

$$-7t_1 - 29t_2 = 22$$