联立求解可得 $t_1 = 1$ 和 $t_2 = -1$ 。因此公垂线的端点坐标 $P_1$ 和 $P_2$ 为

$$\mathbf{r}_1 = (0, 9, 2) + 1(3, -1, 1) = (3, 8, 3)$$

和

$$\mathbf{r}_2 = (-6, -5, 10) - 1(-3, 2, 4) = (-3, -7, 6)$$

由 (4.16) 可得公垂线的方程为

$$\mathbf{r} = (3, 8, 3) + s(2(2, 5, -1)$$

或写成直角坐标形式

$$\frac{x-3}{2} = \frac{y-8}{5} = \frac{z-3}{-1} = s$$

例 4.43 从方向 $(a, b, c)$ 观察一个无盖且边长为单位长度的盒子，如图 4.51 所示。确定 OC 中可见的部分。

解 经过 $Q(0, 0, \alpha)$ 平行于视线方向的直线方程为

$$\mathbf{r} = (0, 0, \alpha) + t(a, b, c)$$

其中 $0 \leq \alpha \leq 1$ 以确保 $Q$ 位于 $O$ 和 $C$ 之间。直线 $RS$ 经过点 $R(1, 0, 1)$ 且方向为 $(0, 1, 0)$ ，因此由 (4.16) 可得其方程为

$$\mathbf{r} = (1, 0, 1) + s(0, 1, 0)$$

与 RS 相交的射线必须满足

$$ta = 1, \quad tb = s, \quad \alpha = 1 - \frac{c}{a}$$

图 4.51
在例 4.43 中寻找隐藏线。

注意，如果 $c = 0$ 那么我们是平行于敞开的顶部观察，只能看到点 C。如果 $c < 0$ 那么我们是从下往上看这个盒子；由于 $\alpha > 1$ ，我们看不到 OC 边的任何部分，所以这条线是隐藏的。然而，如果 $c > a$ 那么解给出 $\alpha$ 为