• 66 若 A 和 B 的位置向量分别为 (1, 2, 3) 和 (4, 5, 6)，求

• (c) 该直线的笛卡尔方程。

  67 求经过位置向量为的点 A 且方向为的直线的向量方程 $\vec{OA} = (2, 1, 1)$ 。这条直线是否经过下列各点中的任何一个 $\vec{d} = (1, 0, 1)$ ？求经过点 A 且垂直于由和平面 $(1, 1, 0)$ , $(1, 1, 1)$ , $(3, 1, 3)$ , $(\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})$ 和 $\vec{OA}$ 所确定的平面的直线的向量方程。

  68 证明连接 $\vec{d}$ 与 $(2, 3, 4)$ 的直线垂直于连接 $(1, 2, 3)$ 与 $(1, 0, 2)$ 的直线 $(2, 3, -2)$ 。

  69 证明直线 $\mathbf{r} = (1, 2, -1) + t(2, 2, 1)$ 与 $\mathbf{r} = (-1, -2, 3) + s(4, 6, -3)$ 相交，并求出它们交点的坐标。同时求出这两条直线之间的锐角。

为负，因此 OC 的整条边都是可见的。对于 $0 < c < a$ ，参数 $\alpha$ 介于 0 和 1 之间，此时只有直线的一部分可见。对于开口顶部的其他边也需要进行类似的分析。箱子的其他棱也需要分析，以检验它们对于该射线是否可见。

4.3.2 练习

70 P 是一条直线上的点，其位置向量为 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \mathbf{t}\mathbf{b}$ 。证明

$$\mathbf{r}^2 = a^2 + 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\mathbf{t} + b^2t^2$$ 通过配方可证明，对于满足 $\mathbf{r}^2$ 的点 P，该式取最小值。证明在此点处 $\mathbf{t} = -\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}/b^2$ 。证明在该点处 $\overrightarrow{OP}$ 垂直于直线 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \mathbf{t}\mathbf{b}$ 。（这就证明了众所周知的结果：点到直线的最短距离就是从该点到该直线的垂线的长度。）

71 求通过位置向量为 $\mathbf{a} = (2, 0, -1)$ 和 $\mathbf{b} = (1, 2, 3)$ 的两点的直线的向量方程。写出等价的直角坐标形式。这条直线是否与通过点 $\mathbf{c} = (0, 0, 1)$ 和 $\mathbf{d} = (1, 0, 1)$ 的直线相交？

72 求两条直线

$$\mathbf{r} = (4, -2, 3) + t(2, 1, -1)$$ 和

$$\mathbf{r} = (-7, -2, 1) + s(3, 2, 1)$$

之间的最短距离

图 4.52
平面的方程；
n 垂直于
该平面。

4.3.3 平面的向量方程

为了得到平面的方程，我们利用如下结果：平面内连接任意两点的直线垂直于该平面的法向量，如图 4.52 所示。向量 $\mathbf{n}$ 垂直于平面， $\mathbf{a}$ 是平面上给定点 A 的位置向量， $\mathbf{r}$ 是平面上任意一点 P 的位置向量。向量 $\bar{AP} = \mathbf{r} - \mathbf{a}$

垂直于 $\mathbf{n}$ ，因此

$$(r - a) \cdot n = 0$$

$$\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \quad \text{or} \quad \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p \quad (4.19)$$