是平面方程的一般形式，其法向量为 $\mathbf{n}$ 。特别地，当 $\mathbf{n}$ 是单位向量时， $p$ 在 (4.19) 中表示从原点到该平面的垂直距离。在直角坐标形式中，我们取 $\mathbf{n} = (\alpha, \beta, \gamma)$ ，方程变为

$$\alpha x + \beta y + \gamma z = p \quad (4.20)$$

这只是变量 $x$ , $y$ 和 $z$ 之间的线性关系。

例 4.44 求过三点

$$a = (1, 1, 1)$$ ,   $b = (0, 1, 2)$   和   $c = (-1, 1, -1)$

的平面方程。解 向量 $\mathbf{a} - \mathbf{b} = (1, 0, -1)$ 和 $\mathbf{a} - \mathbf{c} = (2, 0, 2)$ 将位于该平面内。法向量 $\mathbf{n}$ 因此可以这样构造 $(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{c})$ ，得到

$$\mathbf{n} = (1, 0, -1) \times (2, 0, 2) = (0, -4, 0)$$

于是由 (4.19)，该平面的方程为

$$r \cdot n = a \cdot n$$

或

$$\mathbf{r} \cdot (0, -4, 0) = (1, 1, 1) \cdot (0, -4, 0)$$

得到

$$\mathbf{r} \cdot (0, -4, 0) = -4$$

用直角坐标形式表示

$$(x, y, z) \cdot (0, -4, 0) = -4$$

或简写为 $y = 1$ 。

例 4.45 某金属具有简单立方晶格结构，因此原子位于由下式给出的格点上

$$r = a(l, m, n)$$

其中 $a$ 是晶格间距， $l, m, n$ 为整数。冶金学家需要找出位于两个晶面上的点

$$\text{LP}_1$$ 经过 $a(0, 0, 0)$ , $a(1, 1, 0)$ 以及 $a(0, 1, 2)$

$$\text{LP}_2$$ 经过 $a(0, 0, 2)$ , $a(1, 1, 0)$ 以及 $a(0, 1, 0)$

代入 垂直于 $\text{LP}_1$ 的方向为 $(1, 1, 0) \times (0, 1, 2) = (2, -2, 1)$ 因此……的方程为 $\text{LP}_1$ 是

$$\mathbf{r} \cdot (2, -2, 1) = 0 \quad \text{or in cartesian form} \quad 2x - 2y + z = 0 \quad (4.21)$$