垂直于 $\text{LP}_2$ 的方向是 $(1, 1, -2) \times (0, 1, -2) = (0, 2, 1)$ 因此 $\text{LP}_2$ 的方程为

$$\mathbf{r} \cdot (0, 2, 1) = 2 \quad \text{or in cartesian form} \quad 2y + z = 2 \quad (4.22)$$

同时位于两个晶格平面上的点必须同时满足 (4.21) 和 (4.22)。最简单的方法是用笛卡尔形式求解这些方程。坐标必须是整数，因此取 $y = m$ ；然后 $z$ 可以很容易地由 (4.22) 计算得

$$z = 2 - 2m$$

再由 (4.21) 计算得 $x$ 。

因此，所求的点都在一条直线上，其形式为 $x = 2m - 1$

$$r = a(2m - 1, m, 2 - 2m)$$

其中 m 是整数。

例 4.46 求平面

$$r \cdot (1, 1, 2) = 3$$

与直线

$$\mathbf{r} = (2, 1, 1) + \lambda(0, 1, 2)$$

的交点。

解 在交点处，r 必须同时满足两个方程，因此

$$[(2, 1, 1) + \lambda(0, 1, 2)] \cdot (1, 1, 2) = 3$$

或

$$5 + 5\lambda = 3$$

所以

$$\lambda = -\frac{2}{5}$$

代回直线方程，得到交点为

$$r = (2, \frac{3}{5}, \frac{1}{5})$$

例 4.47 求两个平面 $x + y + z = 5$ 与 $4x + y + 2z = 15$ 的交线的方程。

解 用向量形式，两个平面的方程为

$$\mathbf{r} \cdot (1, 1, 1) = 5$$

$$\mathbf{r} \cdot (4, 1, 2) = 15$$