所求直线同时位于两个平面内，因此垂直于向量 $(1, 1, 1)$ 和 $(4, 1, 2)$ ，它们分别是各平面的法向量。因此，沿该直线方向的一个向量 $\mathbf{c}$ 为

$$c = (1, 1, 1) \times (4, 1, 2) = (1, 2, -3)$$

为了求直线的方程，只需找出直线上任意一点的坐标。为此，我们需要求出满足两个平面方程的一个点的坐标。取 $x = 0$ ，则相应的 $y$ 和 $z$ 的值由

$$y + z = 5$$ 和 $y + 2z = 15$

给出，即 $y = -5$ 和 $z = 10$ 。因此可以验证点 $(0, -5, 10)$ 同时位于两个平面内，因此是直线上的一个点。由 (4.16) 可得直线方程为

$$\mathbf{r} = (0, -5, 10) + t(1, 2, -3)$$

或写成直角坐标形式

$$\frac{x}{1} = \frac{y+5}{2} = \frac{z-10}{-3} = t$$

例 4.48 求点 $P(2, -3, 4)$ 到平面 $x + 2y + 2z = 13$ 的垂直距离。

解 该平面的向量形式方程为

$$r \cdot (1, 2, 2) = 13$$

且垂直于该平面的向量为

$$n = (1, 2, 2)$$

于是由 (4.16)，垂直于该平面且经过点 $P(2, -3, 4)$ 的直线方程为

$$\mathbf{r} = (2, -3, 4) + t(1, 2, 2)$$

当

$$\mathbf{r} \cdot (1, 2, 2) = (2, -3, 4) \cdot (1, 2, 2) + t(1, 2, 2) \cdot (1, 2, 2) = 13$$

给出

$$4 + 9t = 13$$

以便

$$t = 1$$