因此该直线与平面相交于位置向量为 N 的点

$$\mathbf{r} = (2, -3, 4) + 1(1, 2, 2) = (3, -1, 6)$$

因此垂直距离为

该直线与平面相交于位置向量为 N 的点 $$\mathbf{r} = (2, -3, 4) + 1(1, 2, 2) = (3, -1, 6)$$

4.3.4 练习题

许多练习题可以使用 MAPLE 中的 geom3d 软件包进行验证。

• 73	求经过下列各点的平面的向量方程 $(1, 2, 3)$ , $(2, 4, 5)$ 和 $(4, 5, 6)$ 。它的笛卡尔方程是什么？	79	已知 $\mathbf{a} = (3, 1, 2)$ 和 $\mathbf{b} = (1, -2, -4)$ 是各点的位置向量 $P$ 以及 $Q$ 分别，求
  74	求与垂直的平面方程 $\mathbf{n} = (1, -1, 1)$ 该平面经过位置向量为的点 $(2, 3, 3)$ 。证明方程为 $\mathbf{r} = (-1, -1, 2) + t(2, 0, -2)$ 的直线位于该平面内。	80	(a) 经过 $Q$ 且垂直于的平面方程 $PQ$ ; (b) 点 $(-1, 1, 1)$ 到 (a) 中所得平面的距离。
  75	求包含直线 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$ 且经过位置向量为 $\mathbf{c}$ .	80	的点平面的向量方程 $(1, -1, 3)$ 求连接 $(3, 3, -1)$ 与 $2x + 4y - 4z = 5$ 的直线的方程。证明该直线垂直于平面 $12x - 15y + 16z = 10$ .
  76	，并求该直线与平面 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}_1 = p_1$ 所成的角 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}_2 = p_2$ 两个平面 $\mathbf{n}_1$ 与平面 $\mathbf{n}_2$ . 给出该方向的表达式，从而证明两平面的交线方程可以写成 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + t(\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2)$ ，其中 $\mathbf{r}_0$ 是任意满足 $\mathbf{r}_0 \cdot \mathbf{n}_1 = p_1$ 和 $\mathbf{r}_0 \cdot \mathbf{n}_2 = p_2$ 的向量。进而求出平面 $\mathbf{r} \cdot (1, 1, 1) = 5$ 和 $\mathbf{r} \cdot (4, 1, 2) = 15$ .	81	的交线。 $\mathbf{r} = (1, -3, 4) + t(2, 1, 1)$ 求过直线 $\mathbf{r} = s(1, 2, 3)$
  77	且平行于直线 $(1, 2, 4)$ 的平面方程。求过点 $(1, 1, 2)$ . 求该直线与平面的交点 $x + 3y - 4z = 5$ .	82	求经过以下点的直线方程 $P(-1, 0, 1)$ 该直线与直线 $\mathbf{r} = (3, 2, 1) + t(1, 2, 2)$ 垂直相交于 $Q$ 。同时求长度 $PQ$ 以及包含这两条直线的平面方程