4.5.1 一个简单的斜拉桥

斜拉桥可以有多种结构形式；它们可以有一个或多个塔，并且拉索的布置方式也多种多样。图 4.54 展示了一个简单的斜拉人行桥示例。它由一根中央竖直立柱构成，柱上有四根拉索，通过钢索连接到桥面两侧。

相对于坐标轴，以 $z$ 轴为竖直方向，各点的坐标（单位为米）为 A(5, -2, 0.5)、B(10, 2, 1)、C(15, -2, 1.5)、D(20, 2, 1) 和 S(0, 0, 10)。假设重量均匀分布，则在 A、B、C、D 四个点处各有一个 2 千牛的等效重量。需要估算钢索中的张力以及拉索点 S 处的力。

沿拉索方向的向量很容易计算：

$$\overrightarrow{AS} = (-5, 2, 9.5), \quad \overrightarrow{BS} = (-10, -2, 9)$$

$$\overline{\text{CS}} = (-15, 2, 8.5), \overline{\text{DS}} = (-20, -2, 9)$$

拉索 AS 在 S 处的张力可以写为 $T_A = t_A \overrightarrow{SA}$ 。假设整个系统处于平衡状态，A 处的竖直分量必须相等

$$T_A \cdot k = 2 \quad \text{and hence} \quad t_A = \frac{2}{9.5}$$

，其余四个张力可以用类似方法计算。

$$\mathbf{T}_A = \frac{2}{9.5}(5, -2, -9.5) = (1.052, -0.421, -2) \quad \text{and} \quad |\mathbf{T}_A| = 2.299 \text{ kN}$$

$$\mathbf{T}_B = \frac{2}{9}(10, 2, -9) = (2.222, 0.444, -2) \quad \text{and} \quad |\mathbf{T}_B| = 3.022 \text{ kN}$$

$$T_c = \frac{2}{8.5}(15, -2, -8.5) = (3.529, -0.471, -2) \quad \text{and} \quad |T_c| = 4.084 \text{ kN}$$

$$\mathbf{T}_D = \frac{2}{9}(20, 2, -9) = (4.444, 0.444, -2) \quad \text{and} \quad |\mathbf{T}_D| = 4.894 \text{ kN}$$

作用在拉索点 S 处的总力为

$$\mathbf{T} = \mathbf{= } \mathbf{T}_A + \mathbf{T}_B + \mathbf{T}_C + \mathbf{T}_D = (11.25, -0.004, -8)$$

这样，通过简单的向量加法，我们就能够计算出各拉索的张力以及立柱上的总力。

现在的问题是如何补偿立柱上的总力，并尽量确保立柱受到的力为零或尽可能小。假设决定只设置一根补偿拉索，一端连接到 S，另一端连接到桥面一侧的 P 点。假定在人行桥的这一侧，桥面是平坦的，位于 x–y 平面内。我们应该把补偿拉索的连接点放在哪里，才能使它在 S 处产生的水平力为零？

图 4.54 斜拉桥模型。