• 1 已知 $a = 3i - j - 4k$ , $b = -2i + 4j - 3k$ 和 $c = i + 2j - k$ ，求
• 2 (d) 质量分别为 1、2 和 3 的粒子放置在位置向量为 $a$ , $b$ 和 $c$ 的点 A、B 和 C 处，其质心的位置向量。

$$x = (2, 2, 6)$$ , $y = (4, 6, 4)$ 和 $z = (4, 1, 7)$

• 相对于原点 O，求

• (a) 三角形边 XY 的中点；

• (b) 三角形的面积；

• (c) 四面体 OXYZ 的体积。3 一个四面体的顶点为以下各点

  W(2, 1, 3)、X(3, 3, 3)、Y(4, 2, 4) 和 Z(3, 3, 5)。求

设人行桥侧面的连接点为 $P$ 使得补偿缆绳中的张力为 $(-a, 2, 0)$ 我们要求

$$\mathbf{T}{\text{P}} = t{\text{P}} \overline{\text{SP}} = t_{\text{P}}(-a, 2, -10)$$

的分量为零，即 $y$ 的分量为零，从而 $(\mathbf{T} + \mathbf{T}_p)$ 由此可得

$$2t_p - 0.004 = 0$$ 这进而给出 $t_p = 0.002$

分量为 $x$ 从而可得

$$at_p = 11.248$$    因此    $a = 5624$ 米！

显然这个答案很荒谬，要么必须使用多根补偿缆线，要么可以完全忽略 y 分量，因为该方向的力只有 4 N。

作为第二次尝试，我们将连接线指定在 $P(-5, 2, 0)$ 。要求 $x$ 的 $T + T_p$ 分量为零，我们看到

$$\mathbf{T} + \mathbf{T}_p = \mathbf{T} + t_p \overline{\mathbf{SP}} = (11.25, -0.004, -8) + t_p(-5, 2, -10)$$

给出 $t_p = 2.25$ 。因此 S 处的总力为 (0, 4.5, -30.5)。虽然 x 方向的力已减小为零，但引入了塔架上不可接受的 y 方向侧向力。

在进一步的努力中，我们引入两根相等的补偿线，连接到点 $P(-5, -2, 0)$ 和 $P'(-5, 2, 0)$ 。现在 $S$ 处的总力为

$$\begin{aligned} T + T_p + T_{p'} &= T + t_p \overline{SP} + t_p \overline{SP'} \ &= (11.25, -0.004, -8) + t_p(-5, 2, -10) + t_p(-5, -2, -10) \end{aligned}$$

现在选择 $t_p = 1.125$ 给出总力 (0, -0.004, -30.5)。现在我们对问题得到了一个令人满意的结果，唯一显著的力是向下的方向。

不同形式的斜拉桥结构需要进行类似的分析，以估计所涉及的力。所给出的例子应视为说明性的。

4.6 复习题 (1–22)

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。